Đăng nhập Đăng ký

ID: 18334

Nhận biết (M1)
## Chuỗi
$\displaystyle \begin{array}{|l|l|}\hline\textbf{Chuỗi số} & \textbf{Phương pháp xét hội tụ} \\\hline\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} & \begin{array}{l}\bullet \text{Xét } \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} \neq 0 \Rightarrow \text{Chuỗi phân kỳ} \\\bullet \displaystyle a_{n} = \frac{1}{n^{\alpha}} \text{ hội tụ khi } \alpha > 1, \text{ phân kỳ khi } \alpha \le 1\end{array} \\\hline\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} q^{n} & \begin{array}{l}\bullet \text{Hội tụ khi } |q| < 1, \text{ phân kỳ khi } |q| \ge 1 \\\bullet \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} q^{n} = \frac{1}{1-q} \\\bullet \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} q^{n} = \frac{q}{1-q}\end{array} \\\hline\begin{array}{l}\text{Chuỗi số dương} \\\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \quad (a_{n} > 0)\end{array} & \begin{array}{l}\bullet \text{Tiêu chuẩn D'Alembert: } \displaystyle I = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \\\bullet \text{Tiêu chuẩn Cauchy: } \displaystyle I = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}} \\\quad \Rightarrow \text{Hội tụ khi } I < 1, \text{ phân kỳ khi } I > 1 \\\bullet \text{Tiêu chuẩn tích phân: } a_{n} \text{ đơn điệu giảm, } \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0, a_{n} = f(n) \\\quad \displaystyle I = \int_{n_{0}}^{\infty} f(x) \, dx \Rightarrow I \text{ HT } \Rightarrow \text{Chuỗi HT, } I \text{ PK } \Rightarrow \text{Chuỗi PK} \\\bullet \text{Tiêu chuẩn so sánh 1: } \text{Cho } \displaystyle a_{n} \le b_{n} \quad (\forall n \ge N_{0}) \\\quad \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text{ HT } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text{ HT}; \quad \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text{ PK } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text{ PK} \\\bullet \text{Tiêu chuẩn so sánh 2: } \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = L \in (0, \infty) \Rightarrow \text{Hai chuỗi cùng HT hoặc PK}\end{array} \\\hline\begin{array}{l}\text{Chuỗi dấu bất kỳ} \\\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\end{array} & \begin{array}{l}\bullet \text{Hội tụ tuyệt đối (HTTD): Nếu } \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| \text{ hội tụ.} \\\bullet \text{Bán hội tụ (BHT): Nếu } \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| \text{ phân kỳ và } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text{ hội tụ.} \\\bullet \text{Tính chất: Chuỗi HTTD } \Rightarrow \text{Chuỗi hội tụ.} \\\bullet \text{Nếu } \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| \text{ PK theo D'Alembert hoặc Cauchy } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text{ phân kỳ.}\end{array} \\\hline\begin{array}{l}\text{Chuỗi đan dấu} \\\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_{n} \\(a_{n} > 0)\end{array} & \begin{array}{l}\bullet \text{Tiêu chuẩn Leibniz: Nếu } \{a_{n}\} \text{ là dãy giảm và } \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 \\\quad \Rightarrow \text{Chuỗi hội tụ và } \displaystyle 0 \le \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_{n} \le a_{1}\end{array} \\\hline\end{array}$
---
## Các công thức nâng cao về chuỗi
$\displaystyle \begin{array}{|l|l|}\hline\textbf{Bài toán} & \textbf{Công thức và phương pháp giải} \\\hline\text{Tích chuỗi} & \displaystyle \left(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \quad \text{với} \quad c_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k} b_{n+1-k} \\\hline\begin{array}{l}\text{Chuỗi hàm số} \\\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)\end{array} & \begin{array}{l}\textbf{Các bước giải:} \\\text{B1: Tìm miền xác định (TXĐ).} \\\text{B2: Xét tính hội tụ tại điểm } x_{0}: \displaystyle \left|S_{n}(x_{0}) - S(x_{0})\right| < \varepsilon \quad (\forall n \ge N_{0}). \\\\\textbf{Hội tụ đều trên tập } \mathcal{D}: \\\bullet \text{Tiêu chuẩn Cauchy: } \displaystyle \forall \varepsilon > 0, \exists N_{0}: \left|S_{p}(x) - S_{q}(x)\right| < \varepsilon \quad (\forall p > q \ge N_{0}, \forall x \in \mathcal{D}). \\\bullet \text{Tiêu chuẩn Weierstrass: Nếu } |u_{n}(x)| \le a_{n} \,\, (\forall x \in \mathcal{D}) \text{ và } \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text{ HT} \\\quad \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x) \text{ HTTD và HT đều trên } \mathcal{D}. \\\\\textbf{Các phép toán nội suy (khi chuỗi HT đều):} \\\bullet \text{Tính liên tục: } u_{n}(x) \text{ liên tục } \Rightarrow S(x) \text{ liên tục.} \\\bullet \text{Tính khả tích: } \displaystyle \int_{a}^{b} S(x) \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{a}^{b} u_{n}(x) \, dx. \\\bullet \text{Tính khả vi: } \displaystyle S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}'(x) \quad (\text{chuỗi đạo hàm phải HT đều}).\end{array} \\\hline\begin{array}{l}\text{Chuỗi lũy thừa} \\\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\end{array} & \begin{array}{l}\textbf{Bán kính hội tụ } R: \text{ Xét } \displaystyle L = \lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} \text{ hoặc } L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} \\\displaystyle \Rightarrow R = \begin{cases} \frac{1}{L} & \text{nếu } 0 < L < \infty \\ 0 & \text{nếu } L = \infty \\ \infty & \text{nếu } L = 0 \end{cases} \\\bullet \text{Miền hội tụ: Xét riêng hai đầu mút } x = \pm R. \\\bullet \text{Chuỗi HT đều trên mọi đoạn } [a, b] \subset (-R, R).\end{array} \\\hline\end{array}$
---
## Công thức khai triển Maclaurin
$\displaystyle \begin{array}{|l|l|l|c|}\hline\textbf{Hàm số} & \textbf{Dạng tổng quát} & \textbf{Khai triển chi tiết} & \textbf{Bán kính HT } R \\\hline\displaystyle \frac{1}{1-x} & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} & \displaystyle 1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots & R = 1 \\\hline\displaystyle \frac{1}{1+x} & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} x^{n} & \displaystyle 1 - x + x^{2} - \dots + (-1)^{n} x^{n} + \dots & R = 1 \\\hline\displaystyle e^{x} & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} & \displaystyle 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots & R = \infty \\\hline\displaystyle \sin x & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} & \displaystyle x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots + (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots & R = \infty \\\hline\displaystyle \cos x & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} & \displaystyle 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots + (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \dots & R = \infty \\\hline\displaystyle \sinh x & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} & \displaystyle x + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \dots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots & R = \infty \\\hline\displaystyle \cosh x & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} & \displaystyle 1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \dots & R = \infty \\\hline\displaystyle \arctan x & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} & \displaystyle x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \dots + (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \dots & R = 1 \\\hline\displaystyle \arcsin x & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} & \displaystyle x + \frac{1}{2}\frac{x^{3}}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\frac{x^{5}}{5} + \dots & R = 1 \\\hline\displaystyle \ln(1+x) & \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n} & \displaystyle x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n} + \dots & R = 1 \\\hline\displaystyle \ln(1-x) & \displaystyle -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} & \displaystyle -x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - \dots - \frac{x^{n}}{n} - \dots & R = 1 \\\hline\displaystyle (1+x)^{k} & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^{n} & \displaystyle 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^{2} + \dots + \binom{k}{n}x^{n} + \dots & R = 1 \\\hline\end{array}$
---
## Công thức khai triển Fourier
### Hàm tuần hoàn chu kỳ $\displaystyle 2\pi$
Khai triển của hàm số $\displaystyle f(x)$ :
$\displaystyle \begin{aligned}f(x) &= \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_{n} \cos nx + b_{n} \sin nx\right) \\\text{Trong đó:} \quad a_{0} &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \\a_{n} &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx \\b_{n} &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx\end{aligned}$
### Trường hợp hàm chẵn, hàm lẻ (chu kỳ $\displaystyle 2\pi$ )
$\displaystyle \begin{aligned}i) \,\, f(x) \text{ là hàm chẵn:} \quad & a_{0} = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \, dx, \quad a_{n} = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx, \quad b_{n} = 0 \\ii) \,\, f(x) \text{ là hàm lẻ:} \quad & a_{0} = 0, \quad a_{n} = 0, \quad b_{n} = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx\end{aligned}$
### Hàm tuần hoàn chu kỳ $\displaystyle 2T$ bất kỳ
Điều kiện khai triển: $\displaystyle f(x)$ đơn điệu từng khúc và bị chặn trên $\displaystyle [-T, T]$ .
$\displaystyle \begin{aligned}f(x) &= \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_{n} \cos \frac{n\pi x}{T} + b_{n} \sin \frac{n\pi x}{T}\right) \\\text{Trong đó:} \quad a_{0} &= \frac{1}{T} \int_{-T}^{T} f(x) \, dx \\a_{n} &= \frac{1}{T} \int_{-T}^{T} f(x) \cos \frac{n\pi x}{T} \, dx \\b_{n} &= \frac{1}{T} \int_{-T}^{T} f(x) \sin \frac{n\pi x}{T} \, dx\end{aligned}$
### Khai triển trên đoạn $\displaystyle [a, b]$ bất kỳ
B1: Xây dựng hàm số phụ $\displaystyle g(x)$ tuần hoàn chu kỳ $\displaystyle 2T \ge b-a$ sao cho $\displaystyle g(x) = f(x)$ trên $\displaystyle [a, b]$ .
B2: Khai triển Fourier cho hàm số $\displaystyle g(x)$ .
Chú ý: Tại điểm gián đoạn, chuỗi hội tụ về giá trị trung bình nửa tổng: $\displaystyle \frac{f(x^{+}) + f(x^{-})}{2}$ . Nếu kéo dài chẵn ta được chuỗi Fourier Cosin, kéo dài lẻ ta được chuỗi Fourier Sin.
## Phương trình vi phân cấp 1
$\displaystyle \begin{array}{|l|l|l|}\hline\textbf{Loại phương trình} & \textbf{Dạng toán} & \textbf{Phương pháp giải} \\\hline\begin{array}{l}\text{Khuyết } y \\F(x, y') = 0\end{array} & \begin{array}{l}\bullet y' = f(x) \\\bullet x = f(y')\end{array} & \begin{array}{l}\displaystyle \Rightarrow y = \int f(x) \, dx \\\displaystyle \Rightarrow \text{Đặt } y' = t \Rightarrow \begin{cases} x = f(t) \\ y = \int t f'(t) \, dt \end{cases}\end{array} \\\hline\begin{array}{l}\text{Khuyết } x \\F(y, y') = 0\end{array} & \begin{array}{l}\bullet y' = f(y) \\\bullet y = f(y') \\\bullet F(y, y') = 0\end{array} & \begin{array}{l}\displaystyle \Rightarrow dx = \frac{dy}{f(y)} \Rightarrow x = \int \frac{dy}{f(y)} \\\displaystyle \Rightarrow \text{Đặt } y' = t \Rightarrow \begin{cases} y = f(t) \\ x = \int \frac{f'(t)}{t} \, dt \end{cases} \\\displaystyle \Rightarrow \text{Đặt } y = f(t), y' = g(t) \Rightarrow x = \int \frac{f'(t)}{g(t)} \, dt\end{array} \\\hline\text{Phân ly biến số} & \displaystyle y' = \frac{g(x)}{f(y)} & \displaystyle \Rightarrow \int f(y) \, dy = \int g(x) \, dx \\\hline\text{Thuần nhất (đẳng cấp)} & \displaystyle y' = F\left(\frac{y}{x}\right) & \displaystyle \text{Đặt } v = \frac{y}{x} \Rightarrow y' = v + x v' \Rightarrow \frac{dx}{x} = \frac{dv}{F(v) - v} \\\hline\begin{array}{l}\text{Đưa về đẳng cấp}\end{array} & \displaystyle y' = f\left(\frac{a_{1}x + b_{1}y + c_{1}}{a_{2}x + b_{2}y + c_{2}}\right) & \begin{array}{l}\bullet \text{Nếu } \Delta = a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \neq 0: \text{ Đặt } \begin{cases} x = u + \alpha \\ y = v + \beta \end{cases} \\\quad \text{với } (\alpha, \beta) \text{ là nghiệm hệ cắt nhau.} \\\bullet \text{Nếu } \Delta = 0: \text{ Đặt } z = a_{1}x + b_{1}y\end{array} \\\hline\text{Tuyến tính cấp 1} & \displaystyle y' + p(x)y = q(x) & \displaystyle \Rightarrow y(x) = e^{-\int p(x)dx} \left[ \int q(x) e^{\int p(x)dx} \, dx + C \right] \\\hline\text{Phương trình Bernoulli} & \displaystyle y' + p(x)y = q(x)y^{\alpha} \,\, (\alpha \neq 0, 1) & \displaystyle \text{Đặt } v = y^{1-\alpha} \Rightarrow v' + (1-\alpha)p(x)v = (1-\alpha)q(x) \\\hline\begin{array}{l}\text{Vi phân toàn phần}\end{array} & \displaystyle P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 & \begin{array}{l}\bullet \text{Nếu } \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \Rightarrow \int_{x_{0}}^{x} P(t, y_{0})dt + \int_{y_{0}}^{y} Q(x, t)dt = C \\\bullet \text{Nếu } \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}: \text{ Tìm thừa số tích phân } \mu \\\quad \Omega_x = \displaystyle \frac{P'_y - Q'_x}{Q} = \varphi(x) \Rightarrow \mu(x) = e^{\int \varphi(x) dx} \\\quad \Omega_y = \displaystyle \frac{Q'_x - P'_y}{P} = \psi(y) \Rightarrow \mu(y) = e^{\int \psi(y) dy}\end{array} \\\hline\end{array}$
## Phương trình vi phân cấp 2
$\displaystyle \begin{array}{|l|l|l|}\hline\textbf{Loại phương trình} & \textbf{Dạng toán} & \textbf{Phương pháp giải} \\\hline\text{Khuyết } y & \displaystyle F(x, y', y'') = 0 & \text{Đặt } y' = u(x) \Rightarrow y'' = u' \Rightarrow \text{Giải PTVP cấp 1 tìm } u. \\\hline\text{Khuyết } x & \displaystyle F(y, y', y'') = 0 & \displaystyle \text{Đặt } y' = u(y) \Rightarrow y'' = u \frac{du}{dy} \Rightarrow \text{Đưa về PTVP cấp 1 ẩn } u(y). \\\hline\begin{array}{l}\text{Tuyến tính tổng quát}\end{array} & \begin{array}{l}\bullet y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 \\\bullet y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)\end{array} & \begin{array}{l}\bullet \text{Thuần nhất: Biết nghiệm } y_{1} \Rightarrow y_{2} = y_{1} \displaystyle \int \frac{e^{-\int p(x)dx}}{y_{1}^2} \, dx \\\quad \Rightarrow \bar{y} = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} \\\bullet \text{Không thuần nhất: Nghiệm } y = \bar{y} + Y. \\\quad \text{Tìm nghiệm riêng bằng biến thiên hằng số: } Y = C_{1}(x)y_{1} + C_{2}(x)y_{2} \\\quad \displaystyle \Rightarrow \begin{cases} C_{1}'(x)y_{1} + C_{2}'(x)y_{2} = 0 \\ C_{1}'(x)y_{1}' + C_{2}'(x)y_{2}' = f(x) \end{cases}\end{array} \\\hline\begin{array}{l}\text{Tuyến tính hệ số hằng}\end{array} & \begin{array}{l}\bullet y'' + py' + qy = 0 \quad (*) \\\bullet y'' + py' + qy = f(x)\end{array} & \begin{array}{l}\textbf{Nghiệm tổng quát } \bar{y} \text{ của pt thuần nhất từ PT ĐC: } \lambda^2 + p\lambda + q = 0: \\\bullet \Delta > 0 \Rightarrow \bar{y} = C_{1}e^{\lambda_{1}x} + C_{2}e^{\lambda_{2}x} \\\bullet \Delta = 0 \Rightarrow \bar{y} = e^{\lambda_{0}x}(C_{1} + C_{2}x) \\\bullet \Delta < 0 \, (\lambda = a \pm bi) \Rightarrow \bar{y} = e^{ax}(C_{1}\cos bx + C_{2}\sin bx) \\\\\textbf{Tìm nghiệm riêng } Y \text{ dựa vào dạng của } f(x): \\\textbf{Dạng 1: } f(x) = e^{\alpha x} P_{n}(x) \\\bullet \alpha \neq \lambda_{1,2} \Rightarrow Y = e^{\alpha x} Q_{n}(x) \\\bullet \alpha = \lambda_{1} \text{ (nghiệm đơn)} \Rightarrow Y = x e^{\alpha x} Q_{n}(x) \\\bullet \alpha = \lambda_{0} \text{ (nghiệm kép)} \Rightarrow Y = x^2 e^{\alpha x} Q_{n}(x) \\\textbf{Dạng 2: } f(x) = P_{m}(x)\cos \beta x + P_{n}(x)\sin \beta x \quad (\ell = \max\{m, n\}) \\\bullet \pm i\beta \neq \lambda_{1,2} \Rightarrow Y = Q_{\ell}(x)\cos \beta x + R_{\ell}(x)\sin \beta x \\\bullet \pm i\beta = \lambda_{1,2} \Rightarrow Y = x \left[ Q_{\ell}(x)\cos \beta x + R_{\ell}(x)\sin \beta x \right] \\\textbf{Dạng 3: } f(x) = e^{\alpha x} \cdot [\dots] \Rightarrow \text{Đặt } y = e^{\alpha x}z \text{ để khử } e^{\alpha x}.\end{array} \\\hline\text{Phương trình Euler} & \displaystyle x^2 y'' + a x y' + b y = 0 & \displaystyle \text{Đặt } t = \ln|x| \Rightarrow y'_x = \frac{1}{x}y'_t, \,\, y''_{xx} = \frac{1}{x^2}(y''_{tt} - y'_t) \\& & \displaystyle \Rightarrow y''_{tt} + (a-1)y'_t + by = 0 \quad (\text{Hệ số hằng}) \\\hline\end{array}$
## Hệ phương trình vi phân
Phương pháp giải phổ biến: Phương pháp khử (rút thế) biến đổi toán học đại số để đưa hệ nhiều phương trình về một phương trình vi phân cấp cao duy nhất đối với một ẩn hàm, giải tìm ẩn đó rồi thế ngược lại.
## Phương pháp toán tử Laplace
### Bảng các phép biến đổi Laplace cơ bản
$\displaystyle \begin{array}{|l|l|l|}\hline\textbf{Hàm gốc } f(t) & \textbf{Hàm ảnh } F(s) = \mathscr{L}\{f(t)\} & \textbf{Miền hội tụ } s \\\hline\displaystyle 1 & \displaystyle \frac{1}{s} & s > 0 \\\hline\displaystyle t^{n} \quad (n \in \mathbb{N}) & \displaystyle \frac{n!}{s^{n+1}} & s > 0 \\\hline\displaystyle t^{\alpha} \quad (\alpha > -1) & \displaystyle \frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}} & s > 0 \\\hline\displaystyle e^{at} & \displaystyle \frac{1}{s-a} & s > a \\\hline\displaystyle \sin kt & \displaystyle \frac{k}{s^2 + k^2} & s > 0 \\\hline\displaystyle \cos kt & \displaystyle \frac{s}{s^2 + k^2} & s > 0 \\\hline\displaystyle \sinh kt & \displaystyle \frac{k}{s^2 - k^2} & s > |k| \\\hline\displaystyle \cosh kt & \displaystyle \frac{s}{s^2 - k^2} & s > |k| \\\hline\end{array}$
Chú ý về hàm Gamma: $\displaystyle \Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} \, dx$ . Tính chất liên hệ: $\displaystyle \Gamma(\alpha+1) = \alpha \Gamma(\alpha)$ và $\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$ .
### Một vài công thức ảnh nâng cao
$\displaystyle \begin{array}{ll}\displaystyle \mathscr{L}\{t^n e^{at}\} = \frac{n!}{(s-a)^{n+1}} & \displaystyle \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s^2+k^2)^2}\right\} = \frac{1}{2k} t \sin kt \\\displaystyle \mathscr{L}\{t \sin kt\} = \frac{2ks}{(s^2+k^2)^2} & \displaystyle \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s^2+k^2)^2}\right\} = \frac{1}{2k^3}(\sin kt - kt \cos kt) \\\displaystyle \mathscr{L}\{t \cos kt\} = \frac{s^2-k^2}{(s^2+k^2)^2} & \displaystyle \mathscr{L}\{t \sinh kt\} = \frac{2ks}{(s^2-k^2)^2} \\\end{array}$
### Bảng tính chất hệ thống của phép biến đổi Laplace
$\displaystyle \begin{array}{|l|l|}\hline\textbf{Tính chất} & \textbf{Công thức liên hệ toán tử} \\\hline\text{Định nghĩa toán tử} & \displaystyle F(s) = \mathscr{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \quad \Longleftrightarrow \quad f(t) = \mathscr{L}^{-1}\{F(s)\} \\\hline\text{Tính tuyến tính} & \displaystyle \mathscr{L}\{\alpha f(t) + \beta g(t)\} = \alpha F(s) + \beta G(s) \\\hline\text{Laplace của đạo hàm} & \displaystyle \mathscr{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^{n}F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \dots - f^{(n-1)}(0) \\\hline\text{Laplace của tích phân} & \displaystyle \mathscr{L}\left\{\int_{0}^{t} f(\tau) \, d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{F(s)}{s}\right\} = \int_{0}^{t} f(\tau) \, d\tau \\\hline\text{Tịnh tiến trên trục } s & \displaystyle \mathscr{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a) \quad \Longleftrightarrow \quad \mathscr{L}^{-1}\{F(s-a)\} = e^{at}f(t) \\\hline\text{Tịnh tiến trên trục } t & \displaystyle \mathscr{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s) \quad \Longleftrightarrow \quad \mathscr{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\} = u(t-a)f(t-a) \\\hline\text{Tích chập (Convolution)} & \displaystyle \mathscr{L}\{f(t) g(t)\} = F(s) \cdot G(s) \quad \text{với } f(t)g(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)g(t-\tau)d\tau \\\hline\text{Đạo hàm hàm ảnh} & \displaystyle \mathscr{L}\{t^n f(t)\} = (-1)^n F^{(n)}(s) \quad \Longleftrightarrow \quad \mathscr{L}^{-1}\{-F'(s)\} = t f(t) \\\hline\text{Tích phân hàm ảnh} & \displaystyle \mathscr{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\} = \int_{s}^{\infty} F(v) \, dv \quad \Longleftrightarrow \quad \mathscr{L}^{-1}\left\{\int_{s}^{\infty} F(v) \, dv\right\} = \frac{f(t)}{t} \\\hline\end{array}$

Đáp án đúng:

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi