Đăng nhập Đăng ký

ID: 18335

Nhận biết (M1)
PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Phương trình khuyết $\displaystyle y$ ( $\displaystyle F(x, y') = 0$ )
Dạng toán:
$\displaystyle y' = f(x)$
$\displaystyle x = f(y')$
Phương pháp giải:
Với $\displaystyle y' = f(x) \Rightarrow y = \int f(x) \, dx$
Với $\displaystyle x = f(y') \Rightarrow$ Đặt $\displaystyle y' = t \Rightarrow \begin{cases} x = f(t) \\ y = \int t f'(t) \, dt \end{cases}$
Phương trình khuyết $\displaystyle x$ ( $\displaystyle F(y, y') = 0$ )
Dạng toán:
$\displaystyle y' = f(y)$
$\displaystyle y = f(y')$
$\displaystyle F(y, y') = 0$
Phương pháp giải:
Với $\displaystyle y' = f(y) \Rightarrow dx = \frac{dy}{f(y)} \Rightarrow x = \int \frac{dy}{f(y)}$
Với $\displaystyle y = f(y') \Rightarrow$ Đặt $\displaystyle y' = t \Rightarrow \begin{cases} y = f(t) \\ x = \int \frac{f'(t)}{t} \, dt \end{cases}$
Với $\displaystyle F(y, y') = 0 \Rightarrow$ Đặt $\displaystyle y = f(t), y' = g(t) \Rightarrow x = \int \frac{f'(t)}{g(t)} \, dt$
Phương trình phân ly biến số
Dạng toán: $\displaystyle y' = \frac{g(x)}{f(y)}$
Phương pháp giải: $\displaystyle \Rightarrow \int f(y) \, dy = \int g(x) \, dx$
Phương trình thuần nhất (đẳng cấp)
Dạng toán: $\displaystyle y' = F\left(\frac{y}{x}\right)$
Phương pháp giải: Đặt $\displaystyle v = \frac{y}{x} \Rightarrow y' = v + x v' \Rightarrow \frac{dx}{x} = \frac{dv}{F(v) - v}$
Phương trình đưa về đẳng cấp
Dạng toán: $\displaystyle y' = f\left(\frac{a_{1}x + b_{1}y + c_{1}}{a_{2}x + b_{2}y + c_{2}}\right)$
Phương pháp giải:
Nếu $\displaystyle \Delta = a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \neq 0$ : Đặt $\displaystyle \begin{cases} x = u + \alpha \\ y = v + \beta \end{cases}$ với $\displaystyle (\alpha, \beta)$ là nghiệm của hệ cắt nhau.
Nếu $\displaystyle \Delta = 0$ : Đặt $\displaystyle z = a_{1}x + b_{1}y$
Phương trình tuyến tính cấp 1
Dạng toán: $\displaystyle y' + p(x)y = q(x)$
Phương pháp giải: $\displaystyle \Rightarrow y(x) = e^{-\int p(x)dx} \left[ \int q(x) e^{\int p(x)dx} \, dx + C \right]$
Phương trình Bernoulli
Dạng toán: $\displaystyle y' + p(x)y = q(x)y^{\alpha} \,\, (\alpha \neq 0, 1)$
Phương pháp giải: Đặt $\displaystyle v = y^{1-\alpha} \Rightarrow v' + (1-\alpha)p(x)v = (1-\alpha)q(x)$
Phương trình vi phân toàn phần
Dạng toán: $\displaystyle P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$
Phương pháp giải:
Nếu $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \Rightarrow \int_{x_{0}}^{x} P(t, y_{0})dt + \int_{y_{0}}^{y} Q(x, t)dt = C$
Nếu $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}$ : Tìm thừa số tích phân $\displaystyle \mu$ :
$\displaystyle \Omega_x = \displaystyle \frac{P'_y - Q'_x}{Q} = \varphi(x) \Rightarrow \mu(x) = e^{\int \varphi(x) dx}$
$\displaystyle \Omega_y = \displaystyle \frac{Q'_x - P'_y}{P} = \psi(y) \Rightarrow \mu(y) = e^{\int \psi(y) dy}$
PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
Phương trình khuyết $\displaystyle y$
Dạng toán: $\displaystyle F(x, y', y'') = 0$
Phương pháp giải: Đặt $\displaystyle y' = u(x) \Rightarrow y'' = u' \Rightarrow$ Giải PTVP cấp 1 tìm $\displaystyle u$ .
Phương trình khuyết $\displaystyle x$
Dạng toán: $\displaystyle F(y, y', y'') = 0$
Phương pháp giải: Đặt $\displaystyle y' = u(y) \Rightarrow y'' = u \frac{du}{dy} \Rightarrow$ Đưa về PTVP cấp 1 ẩn $\displaystyle u(y)$ .
Phương trình tuyến tính tổng quát
Dạng toán:
$\displaystyle y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$
$\displaystyle y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$
Phương pháp giải:
Thuần nhất: Biết nghiệm $\displaystyle y_{1} \Rightarrow y_{2} = y_{1} \displaystyle \int \frac{e^{-\int p(x)dx}}{y_{1}^2} \, dx \Rightarrow \bar{y} = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}$
Không thuần nhất: Nghiệm $\displaystyle y = \bar{y} + Y$ . Tìm nghiệm riêng bằng biến thiên hằng số: $\displaystyle Y = C_{1}(x)y_{1} + C_{2}(x)y_{2} \displaystyle \Rightarrow \begin{cases} C_{1}'(x)y_{1} + C_{2}'(x)y_{2} = 0 \\ C_{1}'(x)y_{1}' + C_{2}'(x)y_{2}' = f(x) \end{cases}$
Phương trình tuyến tính hệ số hằng
Dạng toán:
$\displaystyle y'' + py' + qy = 0 \quad (*)$
$\displaystyle y'' + py' + qy = f(x)$
Phương pháp giải:
Nghiệm tổng quát $\displaystyle \bar{y}$ của pt thuần nhất từ PT ĐC: $\displaystyle \lambda^2 + p\lambda + q = 0$ :
$\displaystyle \Delta > 0 \Rightarrow \bar{y} = C_{1}e^{\lambda_{1}x} + C_{2}e^{\lambda_{2}x}$
$\displaystyle \Delta = 0 \Rightarrow \bar{y} = e^{\lambda_{0}x}(C_{1} + C_{2}x)$
$\displaystyle \Delta < 0 \, (\lambda = a \pm bi) \Rightarrow \bar{y} = e^{ax}(C_{1}\cos bx + C_{2}\sin bx)$
Tìm nghiệm riêng $\displaystyle Y$ dựa vào dạng của $\displaystyle f(x)$ :
Dạng 1: $\displaystyle f(x) = e^{\alpha x} P_{n}(x)$
$\displaystyle \alpha \neq \lambda_{1,2} \Rightarrow Y = e^{\alpha x} Q_{n}(x)$
$\displaystyle \alpha = \lambda_{1}$ (nghiệm đơn) $\displaystyle \Rightarrow Y = x e^{\alpha x} Q_{n}(x)$
$\displaystyle \alpha = \lambda_{0}$ (nghiệm kép) $\displaystyle \Rightarrow Y = x^2 e^{\alpha x} Q_{n}(x)$
Dạng 2: $\displaystyle f(x) = P_{m}(x)\cos \beta x + P_{n}(x)\sin \beta x \quad (\ell = \max\{m, n\})$
$\displaystyle \pm i\beta \neq \lambda_{1,2} \Rightarrow Y = Q_{\ell}(x)\cos \beta x + R_{\ell}(x)\sin \beta x$
$\displaystyle \pm i\beta = \lambda_{1,2} \Rightarrow Y = x \left[ Q_{\ell}(x)\cos \beta x + R_{\ell}(x)\sin \beta x \right]$
Dạng 3: $\displaystyle f(x) = e^{\alpha x} \cdot [\dots] \Rightarrow$ Đặt $\displaystyle y = e^{\alpha x}z$ để khử $\displaystyle e^{\alpha x}$ .
Phương trình Euler
Dạng toán: $\displaystyle x^2 y'' + a x y' + b y = 0$
Phương pháp giải: Đặt $\displaystyle t = \ln|x| \Rightarrow y'_x = \frac{1}{x}y'_t, \,\, y''_{xx} = \frac{1}{x^2}(y''_{tt} - y'_t) \Rightarrow y''_{tt} + (a-1)y'_t + by = 0$ (Phương trình hệ số hằng)
PHẦN III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Hệ phương trình vi phân
Phương pháp giải phổ biến: Phương pháp khử (rút thế) biến đổi toán học đại số để đưa hệ nhiều phương trình về một phương trình vi phân cấp cao duy nhất đối với một ẩn hàm, giải tìm ẩn đó rồi thế ngược lại.

Đáp án đúng:

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi