Đăng nhập Đăng ký

ID: 18673

Nhận biết (M1)
Phương pháp toán tử Laplace
Định nghĩa: $\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$
Bảng các phép biến đổi Laplace
$\displaystyle \begin{array}{|l|l|l|} \hline f(t) & F(s) & s \\ \hline 1 & \displaystyle \frac{1}{s} & s>0 \\ \hline t^{n}(n \in \mathbb{N}) & \displaystyle \frac{n!}{s^{n+1}} & s>0 \\ \hline t^{a}(a \in \mathbb{R}, a>-1) & \displaystyle \frac{\Gamma(a+1)}{s^{a+1}} & s>0 \\ \hline e^{a t} & \displaystyle \frac{1}{s-a} & s>a \\ \hline \cos k t & \displaystyle \frac{s}{s^{2}+k^{2}} & s>0 \\ \hline \sin k t & \displaystyle \frac{k}{s^{2}+k^{2}} & s>0 \\ \hline \cosh k t & \displaystyle \frac{s}{s^{2}-k^{2}} & s>|k| \\ \hline \sinh k t & \displaystyle \frac{k}{s^{2}-k^{2}} & s>|k| \\ \hline \end{array}$
Chú ý: Hàm Gamma $\displaystyle \Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} d x$ thỏa mãn $\displaystyle \Gamma(\alpha+1)=\alpha \Gamma(\alpha)$ và $\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ .
Một vài công thức khác
$\displaystyle \mathscr{L}\left\{t e^{a t}\right\}(s)=\frac{1}{(s-a)^{2}}$ với $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ . Tổng quát: $\displaystyle \mathscr{L}\left\{t^{n} e^{a t}\right\}(s)=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}$
$\displaystyle \mathscr{L}\{t \sin k t\}(s)=\frac{2 k s}{\left(s^{2}+k^{2}\right)^{2}}$
$\displaystyle \mathscr{L}\{t \cos k t\}(s)=\frac{s^{2}-k^{2}}{\left(s^{2}+k^{2}\right)^{2}}$
$\displaystyle \mathscr{L}\{t \sinh k t\}(s)=\frac{2 k s}{\left(s^{2}-k^{2}\right)^{2}}$
$\displaystyle \mathscr{L}\{t \cosh k t\}(s)=\frac{s^{2}+k^{2}}{\left(s^{2}-k^{2}\right)^{2}}$
$\displaystyle \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s}{\left(s^{2}+k^{2}\right)^{2}}\right\}=\frac{1}{2 k} t \sin k t$ .
$\displaystyle \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{\left(s^{2}+k^{2}\right)^{2}}\right\}=\frac{1}{2 k^{3}}(\sin k t-k t \cos k t)$ .
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
$\displaystyle \begin{array}{|l|l|} \hline \textbf{Tên gọi} & \textbf{Công thức} \\ \hline \text{Định nghĩa} & \begin{array}{l} \displaystyle F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt \quad (\text{viết } F = \mathcal{L}(f)) \\[2ex] \displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t) \quad (\text{viết } f = \mathcal{L}^{-1}(F)) \end{array} \\ \hline \text{Tuyến tính} & \begin{array}{l} \displaystyle \mathcal{L}\{\alpha f(t) + \beta g(t)\}(s) = \alpha \mathcal{L}\{f(t)\}(s) + \beta \mathcal{L}\{g(t)\}(s) \\[2ex] \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\alpha F(s) + \beta G(s)\} = \alpha \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} + \beta \mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} \end{array} \\ \hline \text{Biến đổi Laplace của đạo hàm} & \begin{array}{l} \displaystyle \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}(s) = s^n F(s) - s^{n-1} f(0) - s^{n-2} f'(0) - \dots \\[1ex] \displaystyle \hspace{12pt} \dots - s f^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0) \end{array} \\ \hline \text{Biến đổi Laplace của tích phân} & \begin{array}{l} \displaystyle \mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} f(r) dr\right\}(s) = \frac{F(s)}{s} \\[3ex] \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{F(s)}{s}\right\}(t) = \int_{0}^{t} f(r) dr \end{array} \\ \hline \text{Tịnh tiến theo } s & \begin{array}{l} \displaystyle \mathcal{L}\{e^{at} f(t)\}(s) = F(s-a) \\[2ex] \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{F(s-a)\}(t) = e^{at} f(t) \end{array} \\ \hline \text{Tịnh tiến theo } t & \begin{array}{l} \displaystyle \mathcal{L}\{u(t-a) f(t-a)\}(s) = e^{-as} F(s) \\[2ex] \displaystyle u(t-a) f(t-a) = \mathcal{L}^{-1}\{e^{-as} F(s)\}(t) \end{array} \\ \hline \text{Biến đổi Laplace của tích chập} & \begin{array}{l} \displaystyle \mathcal{L}\{f(t) * g(t)\}(s) = F(s) \cdot G(s) \\[2ex] \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{F(s) \cdot G(s)\}(t) = f(t) * g(t) \end{array} \\ \hline \text{Đạo hàm của biến đổi Laplace} & \begin{array}{l} \displaystyle \mathcal{L}\{t^n f(t)\}(s) = (-1)^n F^{(n)}(s) \\[2ex] \displaystyle \frac{\mathcal{L}^{-1}\{-F'(s)\}(t)}{t} = f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t) \\[3ex] \displaystyle \frac{(-1)^n}{t^n} \mathcal{L}^{-1}\{F^{(n)}(s)\}(t) = f(t) \end{array} \\ \hline \text{Tích phân của biến đổi Laplace} & \begin{array}{l} \displaystyle \mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}(s) = \int_{s}^{\infty} F(v) dv \\[3ex] \displaystyle \frac{f(t)}{t} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\int_{s}^{\infty} F(v) dv\right\}(t) \end{array} \\ \hline \end{array}$

Đáp án đúng:

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi