Đăng nhập Đăng ký

ID: 18705

Nhận biết (M1)
[HFBPTFUN] Tích phân đường

| Tổng quan lý thuyết

I. Tích phân đường loại một
1. Định nghĩa
Cho hàm số $\displaystyle f(x, y)$ xác định trên miền chứa đường cong $\displaystyle C$ . Tích phân đường loại một của hàm $\displaystyle f$ dọc theo cung $\displaystyle C$ là
$\displaystyle \int_{C} f(x, y) d s=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}\right) \Delta s_{i}$
nếu giới hạn đó tồn tại và không phụ thuộc vào cách chia cung $\displaystyle C$ và cách chọn điểm $\displaystyle P_{i}^{}\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}\right)$ trên cung nhỏ thứ $\displaystyle i$ . Khi đó ta nói hàm $\displaystyle f$ khả tích trên cung $\displaystyle C$ .

2. Tính chất
Nếu $\displaystyle f(x, y) \equiv 1$ thì tích phân đường $\displaystyle \int_{C} d s$ cho ta độ dài của đường cong $\displaystyle C$ .
Mở rộng: Cho một sợi dây dọc theo cung C có khối lượng riêng tại $\displaystyle M(x, y)$ là $\displaystyle \rho(x, y)$ thì khối lượng của sợi dây đó là $\displaystyle \int_{C} \rho(x, y) d s$ nếu tích phân đó tồn tại
Tính khả tích: Nếu $\displaystyle f$ là hàm số liên tục trên cung trơn $\displaystyle C$ , thì hàm $\displaystyle f$ khả tích trên cung $\displaystyle C$ .
Tích phân đường loại một có các tính chất tương tự như tích phân xác định. Ngoài ra, tích phân đường loại một không phụ thuộc vào chiều của đường cong.

3. Cách tính tích phân đường loại một
Nếu $\displaystyle C$ có phương trình tham số $\displaystyle x=x(t), y=y(t), a \leq t \leq b$ , thì
$\displaystyle \int_{C} f(x, y) d s=\int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t$
Đặc biệt nếu $\displaystyle C$ cho bởi phương trình $\displaystyle y=y(x), a \leqslant x \leqslant b$ thì
$\displaystyle \int_{C} f(x, y) d s=\int_{a}^{b} f(x, y(x)) \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} d x$
Nếu $\displaystyle C$ cho bởi phương trình $\displaystyle x=x(y), c \leqslant y \leqslant d$ thì
$\displaystyle \int_{\mathrm{C}} f(x, y) d s=\int_{c}^{d} f(x(y), y) \sqrt{1+x^{\prime 2}(y)} d y$
Nếu $\displaystyle C$ cho bởi phương trình trong toạ độ cực $\displaystyle r=r(\varphi), \varphi_{1} \leq \varphi \leq \varphi_{2}$ thì
$\displaystyle \int_{\mathrm{C}} f(x, y) d s=\int_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}} f(r(\varphi) \cos \varphi, r(\varphi) \sin \varphi) \sqrt{r^{2}(\varphi)+r^{\prime 2}(\varphi)} d \varphi$
Chú ý: nếu $\displaystyle C$ là đường cong trơn từng khúc ( $\displaystyle C$ là hợp của hữu hạn các đường cong trơn $\displaystyle C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n}$ thì tích phân đường của $\displaystyle f$ dọc theo đường cong $\displaystyle C$ là
$\displaystyle \int_{C} f(x, y) d s=\int_{C_{1}} f(x, y) d s+\int_{C_{2}} f(x, y) d s+\cdots+\int_{C_{n}} f(x, y) d s$

4. Tích phân đường loại một trong không gian
Cho $\displaystyle C$ là đường cong trơn, có phương trình tham số
$\displaystyle x=x(t), y=y(t), z=z(t), a \leq t \leq b$
hay viết dưới dạng hàm vectơ $\displaystyle \vec{r}(t)=x(t) \overrightarrow{\mathrm{i}}+y(t) \overrightarrow{\mathrm{\jmath}}+z(t) \overrightarrow{\mathrm{k}}$ . Nếu hàm ba biến số $\displaystyle f$ liên tục trên miền chứa đường cong $\displaystyle C$ , thì ta định nghĩa tích phân đường của $\displaystyle f$ dọc theo $\displaystyle C$ là
$\displaystyle \int_{C} f(x, y, z) d s=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}^{}, y_{i}^{}, z_{i}^{}\right) \Delta s_{i}$
Tích phân đường loại một được tính theo công thức
$\displaystyle \int_{C} f(x, y, z) d s=\int_{a}^{b} f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}} d t$

II. Tích phân đường loại hai
1. Định nghĩa
Cho trường vectơ $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{F}}=P \overrightarrow{\mathrm{\imath}}+Q \overrightarrow{\mathrm{\jmath}}+R \overrightarrow{\mathrm{k}}$ . Giả sử các hàm $\displaystyle P, Q$ và $\displaystyle R$ xác định và liên tục trên đường cong trơn $\displaystyle C$ , với $\displaystyle C$ cho bởi hàm vectơ $\displaystyle \vec{r}(t), a \leq t \leq b$ . Tích phân đường của $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{F}}$ dọc theo $\displaystyle C$ là
$\displaystyle \int_{C} P(x, y, z) d x+Q(x, y, z) d y+R(x, y, z) d z=\int_{C} \overrightarrow{\mathrm{~F}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{~T}} d s=\int_{C} \overrightarrow{\mathrm{~F}} \cdot d \vec{r}=\int_{a}^{b} \overrightarrow{\mathrm{~F}} \cdot \vec{r}^{\prime}(t) d t$
Trong không gian $\displaystyle R^{2}$ thì công thức tích phân đường loại hai
$\displaystyle \int_{C} P(x, y) d x+Q(x, y) d y$

2. Tính chất
Tích phân đường loại hai cho ta công của lực $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{F}}$ khi ta di chuyển chất điểm dọc theo đường cong $\displaystyle C$
Tính khả tích: Nếu $\displaystyle P$ và $\displaystyle Q$ là các hàm số liên tục trên cung trơn từng khúc $\displaystyle C$ , thì tích phân đường $\displaystyle \int_{C} P(x, y) d x+Q(x, y) d y$ tồn tại.
Một số tính chất khác:
$\displaystyle \int_{C} \alpha P(x, y) d x+\beta Q(x, y) d y=\alpha \int_{C} P(x, y) d x+\beta \int_{C} Q(x, y) d y$ .
$\displaystyle \int_{\overparen{B A}} P(x, y) d x+Q(x, y) d y=-\int_{\widehat{A B}} P(x, y) d x+Q(x, y) d y$ .
$\displaystyle \int_{\overparen{A B}} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \vec{r}=\int_{\overparen{A M}} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \vec{r}+\int_{\overrightarrow{M B}} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \vec{r}$ , với $\displaystyle M$ là một điểm nằm trên cung $\displaystyle \widehat{A B}$ , với
$\displaystyle \overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y)=P(x, y) \overrightarrow{\mathbf{i}}+Q(x, y) \overrightarrow{\mathbf{j}}$ .

3. Cách tính tích phân đường loại hai
Nếu cung $\displaystyle C$ được cho bởi phương trình $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}\right.$ , điểm đầu và điểm cuối tương ứng với $\displaystyle t=$ $\displaystyle t_{1}, t=t_{2}$
$\displaystyle \int_{\mathrm{C}} P(x, y) d x+Q(x, y) d y=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[P(x(t), y(t)) \cdot x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t)) y^{\prime}(t)\right] d t$
Đặc biệt nếu $\displaystyle C$ được cho bởi phương trình $\displaystyle y=y(x)$ , điểm đầu và điểm cuối ứng với $\displaystyle x=a, x=b$ thì
$\displaystyle \int_{\mathrm{C}} P(x, y) d x+Q(x, y) d y=\int_{a}^{b}\left[P(x, y(x))+Q(x, y(x)) \cdot y^{\prime}(x)\right] d x$
Nếu C được cho bởi phương trình $\displaystyle x=x(y)$ , điểm đầu và điểm cuối ứng với $\displaystyle y=c, y=d$ thì
$\displaystyle \int_{\mathrm{C}} P(x, y) d x+Q(x, y) d y=\int_{c}^{d}\left[P(x(y), y) \cdot x^{\prime}(y)+Q(x(y), y)\right] \mathrm{d} y$

4. Công thức Green
Hướng dương của đường cong kín: Cho đường cong kín $\displaystyle C$ không tự cắt, là biên của miền phẳng $\displaystyle D$ . Ta định nghĩa hướng dương trên $\displaystyle C$ là hướng sao cho một người đi dọc đường cong $\displaystyle C$ theo hướng đó, sẽ thấy miền $\displaystyle D$ , giới hạn bởi $\displaystyle C$ , nằm về bên tay trái. Khi đó, với các hàm số $\displaystyle P, Q$ xác định trên $\displaystyle C$ , tích phân đường được ký hiệu là
$\displaystyle \oint_{C} P(x, y) d x+Q(x, y) d y=\oint_{C} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \vec{r}$
Ví dụ về một đường cong có hướng dương
Công thức Green: Cho C là đuờng cong kín, trơn từng khúc trên mặt phẳng, chiều ngược chiều kim đồng hồ và D là miền giới hạn bởi đường cong $\displaystyle C$ . Nếu $\displaystyle P$ và $\displaystyle Q$ là các hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên D , thì
$\displaystyle \oint_{C} P(x, y) d x+Q(x, y) d y=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y$
Nếu $\displaystyle C$ có hướng âm thì
$\displaystyle \oint_{C} P(x, y) d x+Q(x, y) d y=-\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y$
Trong trường hợp $\displaystyle C$ không kín, ta có thể bổ sung thêm vào $\displaystyle C$ để tạo thành đường cong kín để áp dụng công thức Green rồi trừ đi phần bổ sung
Ứng dụng: Tính diện tích miền $\displaystyle D$
$\displaystyle S=\oint_{C} x d y=-\oint_{C} y d x=\frac{1}{2} \oint_{C} x d y-y d x$

5. Tích phân không phụ thuộc vào đường đi
Giả sử $\displaystyle P$ và $\displaystyle Q$ là các hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên miền đơn liên, liên thông $\displaystyle D$ . Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương với nhau.
(1) $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ trên $\displaystyle D$ .
(2) $\displaystyle \oint_{C} P d x+Q d y=0$ với mọi đường cong kín $\displaystyle C$ thuộc $\displaystyle D$ .
(3) $\displaystyle \int_{A B} P d x+Q d y$ không phụ thuộc vào đường đi từ $\displaystyle A$ đến $\displaystyle B$ trong miền $\displaystyle D$ .
(4) Biểu thức $\displaystyle P d x+Q d y$ là vi phân toàn phần của hàm $\displaystyle f(x, y)$ nào đó, tức là $\displaystyle d f=P d x+Q d y$ .
Giá trị của tích phân đường phụ thuộc vào điểm đầu $\displaystyle A$ và điểm cuối $\displaystyle B$ , không phụ thuộc vào đường đi nối hai điểm đó. Trong trường hợp đó, ta có thể chọn đường đi bất kỳ nối hai điểm đó để tính tích phân.
Nếu tích phân đường $\displaystyle \int P d x+Q d y$ không phụ thuộc vào đường đi trên $\displaystyle D$ thì tồn tại hàm số $\displaystyle f(x, y)$ xác định trên $\displaystyle D$ sao cho $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=P(x, y), \frac{\partial f}{\partial y}=Q(x, y)$ trên $\displaystyle D$ . Khi đó
$\displaystyle \int_{A}^{B} P d x+Q d y=\int_{A}^{B} d f=f(B)-f(A)$
với mọi đường cong $\displaystyle A B$ trong $\displaystyle D$ . Hàm số $\displaystyle f(x, y)$ được cho bởi
$\displaystyle \begin{aligned} f(x, y) & =\int_{x_{0}}^{x} P\left(t, y_{0}\right) d t+\int_{y_{0}}^{y} Q(x, t) d t+C_{1} \\ & =\int_{y_{0}}^{y} Q\left(x_{0}, t\right) d t+\int_{x_{0}}^{x} P(t, y) d t+C_{2} \end{aligned}$

Đáp án đúng:

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi