Đăng nhập Đăng ký

ID: 18706

Nhận biết (M1)
[AR7MGZBY] Tích phân mặt

| Tổng quan lý thuyết

I. Tích phân mặt loại một
1. Định nghĩa
Cho hàm số $\displaystyle f(x, y, z)$ xác định trên một mặt $\displaystyle S$ đóng và bị chặn trong $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ . Tích phân mặt loại một trên mặt S là
$\displaystyle \iint_{S} f(x, y, z) d S=\lim _{d p \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)$
nếu giới hạn trên tồn tại (với $\displaystyle d p=\max _{1 \leq i \leq n} d\left(S_{i}\right)$ ) và không phụ thuộc vào cách chia các miền con $\displaystyle S_{i}$ và cách chọn điểm $\displaystyle M_{i}\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)$ trên mảnh $\displaystyle S_{i}$ . Khi đó ta nói $\displaystyle f$ khả tích trên $\displaystyle S$

2. Tính chất
Diện tích của mặt cong $\displaystyle S=\iint_{S} 1 d S$ ;
Tích phân mặt loại một không phụ thuộc phía của $\displaystyle S$ ;
Nếu $\displaystyle S=S_{1} \cup S_{2}$ và $\displaystyle S_{1}, S_{2}$ không dẫm lên nhau thì
$\displaystyle \iint_{S} f(x, y, z) d S=\iint_{S_{1}} f(x, y, z) d S+<span class=$ \iint_{S_{2}} f(x, y, z) d S">
Nếu $\displaystyle S$ gồm 2 phần $\displaystyle S_{1}$ và $\displaystyle S_{2}$ đối xứng qua $\displaystyle \mathrm{mp} z=0(O x y)$ thì
$\displaystyle f$ chẵn theo $\displaystyle z: \iint_{S} f(x, y, z) d S=2 \iint_{S_{1}} f(x, y, z) d S$ ,
$\displaystyle f$ lẻ theo $\displaystyle z: \iint_{S} f(x, y, z) d S=0$ .
Với mảnh giấy mỏng, khối lượng riêng tại mỗi điểm $\displaystyle M(x, y, z)$ là $\displaystyle \rho(x, y, z)$ thì khối lượng của mặt mỏng sẽ được cho bởi $\displaystyle \iint_{S} \rho(x, y, z) d S$ .
3. Cách tính tích phân mặt loại một
B1: Chọn cách viết phương trình mặt cong $\displaystyle S$ (theo biến có số lần xuất hiện ít nhất trong phương trình mặt cong $\displaystyle S$ và các mặt chắn), giả sử $\displaystyle z=z(x, y)$
B2: Tìm hình chiếu $\displaystyle D$ của $\displaystyle S$ lên mặt phẳng tương ứng, giả sử là $\displaystyle O x y$ (Như hình vẽ minh họa ví dụ)
B3: Tính tích phân trên $\displaystyle D$
$\displaystyle \iint_{S} f(x, y, z) d S=\iint_{D} f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1+z_{x}^{\prime 2}+z_{y}^{\prime 2}} d x d y$

II. Tích phân mặt loại hai
1. Tính định hướng của mặt
Mặt định hướng: Cho $\displaystyle (S)$ là mặt cong trơn, giới hạn bởi một đường cong trơn từng khúc $\displaystyle C$ . Lấy điểm $\displaystyle M \in(S)$ và dựng pháp tuyến $\displaystyle \vec{n}$ của $\displaystyle (S)$ tại $\displaystyle M$ . Nếu xuất phát từ điểm $\displaystyle M$ di chuyển theo một đường cong kín, quay về điểm xuất phát $\displaystyle M$ mà pháp tuyến $\displaystyle \vec{n}$ không đổi hướng, thì ta nói $\displaystyle (S)$ định hướng được.
Các mặt xác định bởi $\displaystyle z=f(x, y)$ là mặt định hướng được và có hai hướng:
Hướng $\displaystyle \vec{n}\left(z_{x}^{\prime}, z_{y}^{\prime},-1\right)$ tạo với trục $\displaystyle \overrightarrow{O z}$ một góc $\displaystyle \leq 90^{\circ}$ ,
Hướng $\displaystyle \vec{n}$ tạo với trục $\displaystyle \overrightarrow{O z}$ một góc $\displaystyle \geq 90^{\circ}$ .
với $\displaystyle \vec{n}\left(z_{x}^{\prime}, z_{y}^{\prime},-1\right)$ hoặc $\displaystyle \vec{n}\left(-z_{x}^{\prime},-z_{y}^{\prime}, 1\right)$ , tương tự với mặt cho bởi $\displaystyle f(x, y, z)=0$ có $\displaystyle \vec{n}\left(f_{x}^{\prime}, f_{y}^{\prime}, f_{z}^{\prime}\right)$ + Các mặt kín như mặt cầu, ellipsoid,... là mặt định hướng được và có hai hướng: $\displaystyle \vec{n}$ hướng ra ngoài và $\displaystyle \vec{n}$ hướng vào trong.
Mặt Mobius không định hướng được

2. Tích phân mặt loại hai
Tích phân mặt loại hai của các hàm $\displaystyle P, Q, R$ trên $\displaystyle S$
$\displaystyle \iint_{S}[P(x, y, z) \cos \alpha+Q(x, y, z) \cos \beta+R(x, y, z) \cos \gamma] d S$
với $\displaystyle (\alpha, \beta, \gamma)$ là góc chỉ phương của pháp tuyến tại $\displaystyle M$ của $\displaystyle S$
Ta cũng có thể viết tích phân mặt loại hai dưới dạng
$\displaystyle \iint_{S} P(x, y, z) \mathrm{dydz}+Q(x, y, z) \mathrm{dzdx}+R(x, y, z) \mathrm{dxdy}$

3. Tính chất
Nếu $\displaystyle S$ đổi hướng thì tích phân đổi dấu;
Nếu $\displaystyle P, Q, R$ liên tục trên mặt $\displaystyle S$ định hướng, trơn thì tồn tại tích phân mặt loại hai;
Mối liên hệ giữa tích phân mặt loại một và hai:
$\displaystyle \iint_{S} P(x, y, z) d y d z+Q(x, y, z) d z d x+R(x, y, z) d x d y=\iint_{S}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) d S$

4. Cách tính tích phân mặt loại hai
Cách 1: Tính thông qua tích phân mặt loại một
Cho mặt cong $\displaystyle S$ trơn có một véc tơ pháp tuyến của $\displaystyle S$ tại điểm $\displaystyle P$ chính quy là $\displaystyle \vec{N}=(A, B, C)$ . Nếu véc tơ này cùng phương cùng hướng với $\displaystyle \vec{n}$ , tức là, hướng theo phía đã chọn của mặt thì
$\displaystyle \begin{aligned} \cos \alpha & =\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \\ \cos \beta & =\frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \\ \cos \gamma & =\frac{C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \end{aligned}$
Tương tự với trường hợp ngược chiều ta chỉ cần thêm dấu âm
$\displaystyle \begin{aligned} \cos \alpha & =\frac{-A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \\ \cos \beta & =\frac{-B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \\ \cos \gamma & =\frac{-C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \end{aligned}$
Áp dụng liên hệ giữa tích phân mặt loại một và hai
$\displaystyle \iint_{S} P(x, y, z) d y d z+Q(x, y, z) d z d x+R(x, y, z) d x d y=\iint_{S}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) d S$
Cách 2: Tính thông qua tích phân kép
$\displaystyle \begin{aligned} I & =\iint_{S} P(x, y, z) d y d z+Q(x, y, z) d z d x+R(x, y, z) d x d y \\ & =\iint_{S} P(x, y, z) d y d z+\iint_{S} Q(x, y, z) d z d x+\iint_{S} R(x, y, z) d x d y:=I_{1}+I_{2}+I_{3} \end{aligned}$
Tính $\displaystyle I_{3}=\iint_{S} R(x, y, z) d x d y$ . Ký hiệu $\displaystyle \gamma$ là góc hợp bởi $\displaystyle \overrightarrow{O z}$ với $\displaystyle \vec{n}$ .
Viết pt $\displaystyle S$ dạng: $\displaystyle z=z(x, y)$ (bắt buộc),
Tìm hình chiếu $\displaystyle D_{x y}$ của $\displaystyle S$ lên $\displaystyle \mathrm{mpz}=0(O x y)$ (bắt buộc),
$\displaystyle \quad \gamma<\frac{\pi}{2} \Rightarrow I_{3}=\iint_{D} R(x, y, z(x, y)) d x d y$
$\displaystyle \quad \gamma>\frac{\pi}{2} \Rightarrow I_{3}=-\iint_{D} R(x, y, z(x, y)) d x d y$
$\displaystyle \quad \gamma=\frac{\pi}{2}(S \| O z$ hoặc $\displaystyle S$ chứa $\displaystyle O z) \Rightarrow I_{3}=0$ .
Tương tự ta tính cho $\displaystyle I_{1}$ và $\displaystyle I_{2}$ .
Chú ý: $\displaystyle S$ gồm $\displaystyle S_{1}$ và $\displaystyle S_{2}$ đối xứng qua mặt phẳng $\displaystyle z=0$ :
$\displaystyle R(x, y, z)$ chẵn theo biến $\displaystyle z: I_{3}=0$ ,
$\displaystyle R(x, y, z)$ lẻ theo biến $\displaystyle z: I_{3}=2 \iint_{S_{1}} R(x, y, z) d x d y$ .
Tương tự cho $\displaystyle I_{1}$ (xét $\displaystyle P$ và $\displaystyle x=0$ ), $\displaystyle I_{2}$ (xét $\displaystyle Q$ và $\displaystyle y=0$ ).

5. Định lý Ostrogradsky (O-G)
Cho $\displaystyle \Omega$ là miền đóng và bị chặn trong $\displaystyle \mathbb{R}^{3}, S$ là phía ngoài mặt biên của $\displaystyle \Omega$ ( $\displaystyle S$ là mặt cong kín, trơn từng mảnh). $\displaystyle P, Q, R$ và các đạo hàm riêng liên tục trên $\displaystyle \Omega$ . Khi đó,
$\displaystyle \iint_{S} P d y d z+Q d z d x+R d x d y=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) d x d y d z$
Chú ý:
Nếu ta lấy theo hướng pháp tuyến trong (mặt trong) thì
$\displaystyle \iint_{S} P d y d z+Q d z d x+R d x d y=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) d x d y d z$
Tương tự tích phân đường, ta cũng có thể bổ sung thêm các mặt cong vào $\displaystyle S$ trong trường hợp $\displaystyle S$ không kín để được mặt $\displaystyle S^{\prime}$ , tính toán rồi trừ đi phần thêm vào

6. Công thức Stokes
Cho mặt định hướng $\displaystyle S$ trơn từng mảnh, có biên là đường cong kín $\displaystyle C$ trơn từng khúc không tự cắt. $\displaystyle C$ gọi là định hướng dương theo $\displaystyle C$ nếu khi đứng trên mặt S (pháp tuyến của mặt theo hướng từ chân đến đầu) và đi trên $\displaystyle C$ theo hướng đó sẽ luôn thấy $\displaystyle S$ ở bên trái.

Công thức Stokes:
Giả sử $\displaystyle P, Q, R$ là các hàm số khả vi liên tục trong một miền chứa mặt $\displaystyle S$ , biên $\displaystyle C$ định hướng dương theo $\displaystyle S$
$\displaystyle \oint_{C} P d x+Q d y+R d z=\iint_{S}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) d y d z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) d z d x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y$

III. Trường vector
1. Định nghĩa
Trường vectơ: Cho $\displaystyle V \subset \mathbb{R}^{3}$ , ta nói trong $\displaystyle V$ xác định một trường vectơ nếu tại mỗi điểm $\displaystyle M(x, y, z) \in V$ xác định một vectơ
$\displaystyle \vec{F}(x, y, z)=P(x, y, z) \vec{\imath}+Q(x, y, z) \vec{\jmath}+R(x, y, z) \vec{k}$
Đường dòng: trong $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ cho trường vectơ $\displaystyle \vec{F}(x, y, z)=P(x, y, z) \vec{\imath}+Q(x, y, z) \vec{\jmath}+R(x, y, z) \vec{k}$ .
Đường cong $\displaystyle C \subset \mathbb{R}^{3}$ gọi là đường dòng của trường vectơ $\displaystyle \vec{F}$ nếu tại mỗi điểm $\displaystyle M$ trên đường cong $\displaystyle C$ , tiếp tuyến tại đó cùng phương với vecto $\displaystyle \vec{F}(M)$ .
Phương trình đường dòng: cho trường vectơ
$\displaystyle \vec{F}(x, y, z)=P(x, y, z) \vec{\imath}+Q(x, y, z) \vec{\jmath}+R(x, y, z) \vec{k}$
và đường dòng $\displaystyle C$ có phương trình tham số là $\displaystyle x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t)$ . Khi đó, tiếp tuyến tại mỗi điểm $\displaystyle M(x, y, z)$ của $\displaystyle C$ có vectơ chỉ phương là $\displaystyle \left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right.$ ). Do tiếp tuyến này đồng phương với $\displaystyle \vec{F}(M)$
$\displaystyle \frac{x^{\prime}(t)}{P}=\frac{y^{\prime}(t)}{Q}=\frac{z^{\prime}(t)}{R} \Leftrightarrow \frac{d x}{P}=\frac{d y}{Q}=\frac{d z}{R}$
(Gọi là hệ phương trình vi phân của họ đường dòng của trường vectơ $\displaystyle \vec{F}(M)$ ).
Các đường dòng không cắt nhau, tức qua một điểm trong trường vector có duy nhất một đường dòng

2. Thông lượng
Cho trường vectơ
$\displaystyle \vec{F}(x, y, z)=P(x, y, z) \vec{\imath}+Q(x, y, z) \vec{\jmath}+R(x, y, z) \vec{k}$
và $\displaystyle S$ là mặt cong định hướng trong $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ . Khi đó, thông lượng của trường vectơ $\displaystyle \vec{F}$ qua mặt $\displaystyle S$ là
$\displaystyle \Phi=\iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S=\iint_{S} P d y d z+Q d z d x+R d x d y$
trong đó $\displaystyle \vec{n}$ là vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt $\displaystyle S$ .

3. Độ phân tán (dive)
Cho trường vecto $\displaystyle \vec{F}(x, y, z)=P(x, y, z) \vec{\imath}+Q(x, y, z) \vec{\jmath}+R(x, y, z) \vec{k}$ . Khi đó, đại lượng vô hướng
$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}(M)+\frac{\partial Q}{\partial y}(M)+\frac{\partial R}{\partial z}(M)$
được gọi là độ phân tán của trường $\displaystyle \vec{F}$ tại $\displaystyle M(x, y, z)$ và ký hiệu div $\displaystyle \vec{F}(M)$ . Vậy
$\displaystyle \operatorname{div} \vec{F}(M)=\frac{\partial P}{\partial x}(M)+\frac{\partial Q}{\partial y}(M)+\frac{\partial R}{\partial z}(M)$
Tính chất: cho $\displaystyle \vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$ là các trường vectơ trên $\displaystyle \mathbb{R}^{3}, c_{1}, c_{2}$ là các hằng số
$\displaystyle \operatorname{div}\left(c_{1} \vec{F}_{1}+c_{2} \vec{F}_{2}\right)=c_{1} \operatorname{div} \vec{F}_{1}+c_{2} \operatorname{div} \vec{F}_{2}$
$\displaystyle \operatorname{div}\left(u \vec{F}_{1}\right)=u \operatorname{div} \vec{F}_{1}+\vec{F}_{1} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad} u}\left(u\right.$ là một trường vô hướng trên $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ )

4. Trường ống. Điểm nguồn. Điểm rò
Trường vectơ $\displaystyle \vec{F}$ được gọi là trường ống nếu $\displaystyle \operatorname{div} \vec{F}(M)=0, \forall M \in V$
$\displaystyle M$ được gọi là điểm nguồn của trường $\displaystyle \vec{F}$ nếu $\displaystyle \operatorname{div} \vec{F}(M)>0$
$\displaystyle M$ được gọi là điểm rò của trường $\displaystyle \vec{F}$ nếu $\displaystyle \operatorname{div} \vec{F}(M)<0$
Nếu $\displaystyle \vec{F}$ là một trường ống thì thông lượng đi vào bằng thông lượng đi ra

5. Hoàn lưu. Vector xoáy
Hoàn lưu: Cho $\displaystyle \mathcal{C}$ là một đường cong (có thể kín hoặc không kín) trong không gian. Đại lượng
$\displaystyle \int_{\mathcal{C}} F_{x} d x+F_{y} d y+F_{z} d z$
được gọi là hoàn lưu của $\displaystyle \vec{F}$ dọc theo đường cong $\displaystyle \mathcal{C}$ .
Véctơ xoáy: Véctơ
$\displaystyle \overrightarrow{\operatorname{rot}} F:=\left|\begin{array}{ccc} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{array}\right|$
được gọi là véctơ xoáy (hay véctơ rota) của trường vécto $\displaystyle \vec{F}$ .

6. Trường thế. Hàm thế vị
Trường véctơ $\displaystyle \vec{F}$ được gọi là trường thế (trên $\displaystyle \Omega$ ) nếu tồn tại trường vô hướng $\displaystyle u$ sao cho $\displaystyle \overrightarrow{\operatorname{grad}} u=$ $\displaystyle \vec{F}$ . Khi đó hàm $\displaystyle u$ được gọi là hàm thế vị.
Định lý: Điều kiện cần và đủ để trường véctơ $\displaystyle \vec{F}=\vec{F}(M)$ là một trường thế (trên $\displaystyle \Omega$ ) là $\displaystyle \overrightarrow{\operatorname{rot}} \vec{F}(M)=0$ với mọi $\displaystyle M \in \Omega$ .
Nếu $\displaystyle \vec{F}$ là trường thế thì hàm thế vị $\displaystyle u$ được tính theo công thức
$\displaystyle u=\int_{x_{0}}^{x} F_{x}\left(t, y_{0}, z_{0}\right) d t+\int_{y_{0}}^{y} F_{y}\left(x, t, z_{0}\right) d t+\int_{z_{0}}^{z} F_{z}(x, y, t) d t+C$

Đáp án đúng:

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi