Đăng nhập Đăng ký

ID: 19117

Nhận biết (M1)
Cho một nhóm 15 học sinh có chiều cao khác nhau gồm 5 học sinh nữ có chiều cao tăng dần ký hiệu lần lượt là $\displaystyle G_{1},G_{2},G_{3},G_{4},G_{5}$ và 10 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 15 học sinh đó thành một hàng ngang sao cho nếu tính từ trái sang phải thì các học sinh nữ có chiều cao tăng dần, các học sinh nam cũng có chiều cao tăng dần; giữa học sinh $\displaystyle G_{1}$ và $\displaystyle G_{2}$ có ít nhất 2 học sinh nam, giữa học sinh $\displaystyle G_{4}$ và $\displaystyle G_{5}$ có ít nhất 1 học sinh nam và nhiều nhất 4 học sinh nam?

Đáp án đúng:
736
Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle x_{1}$ là số học sinh nam được xếp bên trái $\displaystyle G_{1}$ ,
$\displaystyle x_{2}$ là số học sinh nam được xếp giữa $\displaystyle G_{1}$ và $\displaystyle G_{2}$ ,
$\displaystyle x_{3}$ là số học sinh nam được xếp giữa $\displaystyle G_{2}$ và $\displaystyle G_{3}$ ,
$\displaystyle x_{4}$ là số học sinh nam được xếp giữa $\displaystyle G_{3}$ và $\displaystyle G_{4}$ ,
$\displaystyle x_{5}$ là số học sinh nam được xếp giữa $\displaystyle G_{4}$ và $\displaystyle G_{5}$ ,
$\displaystyle x_{6}$ là số học sinh nam được xếp bên phải $\displaystyle G_{5}$ .
Khi đó bộ số $\displaystyle (x_{1};x_{2};x_{3};x_{4};x_{5};x_{6})$ hoàn toàn xác định vị trí của các học sinh nữ và ta có $\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=10 \\ x_{1},x_{3},x_{4},x_{6}≥0;x_{2}≥2;1≤x_{5}≤4 \end{array} \end{array} \right .$
Đặt $\displaystyle y_{1}=x_{1}+1,y_{2}=x_{2}-1;y_{3}=x_{3}+1,y_{4}=x_{4}+1,y_{6}=x_{6}+1$ .
Khi đó số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là số nghiệm nguyên dương ( $\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{6}$ ) của phương trình $\displaystyle y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{6}=13-x_{5}$ , với $\displaystyle 1≤x_{5}≤4$ .
+) Xét $\displaystyle x_{5}=1$ , ta có $\displaystyle y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{6}=12$ . Ta xét dãy gồm 12 chữ số 1 như sau:
1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1.
Giữa hai số 1 bất kỳ có một khoảng trống. Ta chỉ cần chọn 4 vị trí khoảng trống để ngăn cách sẽ tạo thành 5 đoạn ứng với bộ $\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{6})$ . Vậy số nghiệm trong trường hợp này là $\displaystyle C_{11}^{4}$ +) Xét $\displaystyle x_{5}=2$ , lập luận tương tự ta có số nghiệm là $\displaystyle C_{10}^{4}$
+) Xét $\displaystyle x_{5}=3$ , lập luận tương tự ta có số nghiệm là $\displaystyle C_{9}^{4}$
+) Xét $\displaystyle x_{5}=4$ , lập luận tương tự ta có số nghiệm là $\displaystyle C_{8}^{4}$
Vậy số cách xếp là $\displaystyle C_{11}^{4}+C_{10}^{4}+C_{9}^{4}+C_{8}^{4}=736.$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi