Đăng nhập Đăng ký

ID: 19135

Nhận biết (M1)
Anh Việt có một tấm tôn hình tam giác đều $\displaystyle ABC$ với cạnh bằng 6(dm). Bên trong tấm nhôm này anh vẽ thêm tam giác đều $\displaystyle DEF$ sao cho hai tam giác có cùng trọng tâm, đồng thời các cạnh tương ứng song song nhau. Anh Việt muốn làm một chậu đựng nước dạng hình chóp cụt tam giác đều với đáy nhỏ là $\displaystyle DEF$ và đáy lớn để hở. Anh cắt bỏ ba hình bình hành ở ba góc của tam giác $\displaystyle ABC$ là $\displaystyle AMDN$ , $\displaystyle BPEQ$ , $\displaystyle CSFR$ (như hình). Kẻ đường cao $\displaystyle AH$ và gọi $\displaystyle O$ là trọng tâm tam giác $\displaystyle ABC$ . Đặt $\displaystyle x=DN=DM$ $\displaystyle \left ( { 0 < x < 2 } \right )$ .

Phát biểu Đúng Sai
$\displaystyle NP=QR=SM=6-2x$ (dm).
$\displaystyle AH=3\sqrt{3}$ (dm) và $\displaystyle OA=2\sqrt{3}$
$\displaystyle AD=x\sqrt{3}$ (dm) và $\displaystyle DE=6-3x$ (dm).
Sau khi gập hình vuông và dùng keo dán kín các đoạn gập vào với nhau gồm $\displaystyle DM$ và $\displaystyle DN$ , $\displaystyle EP$ với $\displaystyle EQ$ , $\displaystyle FS$ với $\displaystyle FR$ , sức chứa tối đa của chậu xấp xỉ 4,54 (lít).
Giải thích đáp án:
a) ĐÚNG
$\displaystyle NP=QR=SM=6-2x$ (dm).
b) ĐÚNG
$\displaystyle AH=\frac{6.\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ ; $\displaystyle OA=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}.3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ .
c) ĐÚNG
Do $\displaystyle AMDN$ là hình thoi cạnh $\displaystyle x$ (dm) nên $\displaystyle AD=2.\frac{x\sqrt{3}}{2}=x\sqrt{3}$ (dm).
$\displaystyle DO=AO-AD=\left ( { 2-x } \right )\sqrt{3}$ .
Mà $\displaystyle DO=\frac{DE\sqrt{3}}{3}$ ( Do $\displaystyle DEF$ là tam giác đều).
Suy ra: $\displaystyle DE=3\left ( { 2-x } \right )=6-3x$ (dm).
d) ĐÚNG
Diện tích đáy lớn: $\displaystyle S=\frac{\left ( { 6-2x } \right )^{2}\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\left ( { 3-x } \right )^{2}$ ;
Diện tích đáy nhỏ: $\displaystyle S'=\frac{\left ( { 6-3x } \right )^{2}\sqrt{3}}{4}$ .
Gọi $\displaystyle O'$ là trọng tâm của đáy lớn; $\displaystyle H$ là hình chiếu của $\displaystyle D$ lên $\displaystyle MO'$ .
Ta có: $\displaystyle MH=MO'-DO=\frac{\left ( { 6-2x } \right )\sqrt{3}}{3}-\left ( { 2-x } \right )\sqrt{3}=\frac{x\sqrt{3}}{3}$ .
Chiều cao của chậu: $\displaystyle h=\sqrt{DM^{2}-MH^{2}}=\sqrt{x^{2}-\left ( { \frac{x\sqrt{3}}{3} } \right )^{2}}=\frac{x\sqrt{6}}{3}$ .
Thể tích của chậu:
$\displaystyle V=\frac{1}{3}h\left ( { S+S'+\sqrt{S.S'} } \right )=\frac{1}{3}.\frac{x\sqrt{6}}{3}.\frac{19\sqrt{3}x^{2}-90\sqrt{3}x+108\sqrt{3}}{4}=\frac{57\sqrt{2}x^{3}-270\sqrt{2}x^{2}+324\sqrt{2}x}{36}$
$\displaystyle V=\frac{1}{3}h\left ( { S+S'+\sqrt{S.S'} } \right )=\frac{1}{3}.\frac{x\sqrt{6}}{3}.\frac{19\sqrt{3}x^{2}-90\sqrt{3}x+108\sqrt{3}}{4}=\frac{57\sqrt{2}x^{3}-270\sqrt{2}x^{2}+324\sqrt{2}x}{36}$
Ta có: $\displaystyle V'=\frac{171\sqrt{2}x^{3}-540\sqrt{2}x+324\sqrt{2}}{36}$
$\displaystyle V'=0⇔\left [ { \begin{array}{l} x=\frac{30-6\sqrt{6}}{19}\,\,\,(n) \\ x=\frac{30+6\sqrt{6}}{19}\,\,\,(l) \end{array} }\right.$
Thay $\displaystyle x=\frac{30-6\sqrt{6}}{19}$ vào V
Vậy Thể tích lớn nhất của chậu là xấp xỉ 4,54 (lít).

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi