Đăng nhập Đăng ký

ID: 19140

Nhận biết (M1)
Bạn Xuân Anh có một tờ giấy cứng hình chữ nhật $\displaystyle ABCD$ với $\displaystyle AB=4\,\text{d}\text{m}$ , $\displaystyle AD=2\,\text{d}\text{m}$ . Bạn chọn điểm $\displaystyle M$ thuộc cạnh $\displaystyle BC$ rồi dùng thước kẻ vạch và cắt tờ giấy theo đường $\displaystyle AM$ , chia tờ giấy thành hai phần.
+) Phần mảnh giấy chứa cạnh $\displaystyle CD$ : bạn muốn cắt một hình vuông có đỉnh $\displaystyle D$ , hai cạnh nằm trên đường $\displaystyle DA$ và $\displaystyle DC$ , đỉnh còn lại của hình vuông thuộc đường cắt $\displaystyle AM$ .
+) Phần mảnh giấy chứa cạnh $\displaystyle AB$ : Bạn muốn cắt được một hình tròn sao cho hình tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác $\displaystyle ABM$ .
Gọi $\displaystyle S$ (phần tô đậm trong hình vẽ) là tổng diện tích của hình vuông và hình tròn cắt được. Hỏi khi $\displaystyle M$ di động trên $\displaystyle BC$ , giá trị nhỏ nhất của $\displaystyle S$ bằng bao nhiêu $\displaystyle \text{d}\text{m}^{\text{2}}$ .(làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp án đúng:
3,16
Giải thích đáp án:
Chọn hệ trục $\displaystyle Oxy$ sao cho $\displaystyle A$ trùng với gốc toạ độ và $\displaystyle B\left ( { 4;\,0 } \right )$ , $\displaystyle D\left ( { 0;\,2 } \right )$ , $\displaystyle C\left ( { 4;\,2 } \right )$ , khi đó $\displaystyle M\left ( { 4;\,m } \right )$ với $\displaystyle 0≤m≤2$
Đường thẳng $\displaystyle AM$ có phương trình dạng: $\displaystyle AM:\,y=\frac{m}{4}.x$ .
Gọi $\displaystyle x$ là cạnh của hình vuông.
Gọi điểm $\displaystyle H$ là đỉnh đối diện với đỉnh $\displaystyle D$ của hình vuông thì $\displaystyle H\left ( { x;\,2-x } \right )$
Mặt khác $\displaystyle H∈AM$ nên ta có $\displaystyle 2-x=\frac{m}{2}.x⇒x=\frac{8}{m+4}$
Khi đó diện tích hình vuông là: $\displaystyle S_{1}=\left ( { \frac{8}{m+4} } \right )^{2}$
Ta có $\displaystyle AM=\sqrt{AB^{2}+BM^{2}}=\sqrt{m^{2}+16}$
Gọi $\displaystyle r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $\displaystyle ABM$ , do $\displaystyle ABM$ vuông tại $\displaystyle B$ nên:
$\displaystyle r=\frac{AB+BM-AM}{2}=\frac{4+m-\sqrt{16+m^{2}}}{2}$
Khi đó diện tích hình tròn nội tiếp tam giác vuông $\displaystyle ABM$ là
$\displaystyle S_{2}=π.r^{2}=\frac{π}{4}\left ( { 4+m-\sqrt{16+m^{2}} } \right )^{2}$
Tổng diện tích hai hình là $\displaystyle S\left ( { m } \right )=S_{1}+S_{2}=\left ( { \frac{8}{m+4} } \right )^{2}+\frac{π}{4}\left ( { 4+m-\sqrt{16+m^{2}} } \right )^{2}$
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $\displaystyle S\left ( { m } \right )$ trên đoạn $\displaystyle \left [ { 0;\,2 } \right ]$ .
Dùng chức năng TABLE trên máy tính Casio ta tìm được GTNN của hàm số (làm tròn đến hàng phần trăm) bằng 3,16 khi $\displaystyle m≈0,984$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi