Đăng nhập Đăng ký

ID: 19141

Nhận biết (M1)
Tìm thể tích phần giao nhau của khối nón $\displaystyle \left ( { N } \right )$ và khối trụ $\displaystyle \left ( { T } \right )$ biết rằng chúng có cùng chiều cao $\displaystyle 4dm$ , hai đường tròn đáy đồng phẳng và có bán kính cùng bằng $\displaystyle 2dm$ , đồng thời trục của hình nón là một đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm.

Đáp án đúng:
7,02
Giải thích đáp án:
Gắn hệ trục toạ độ $\displaystyle Oxy$ như hình vẽ. Một đơn vị trên mỗi trục là 1 $\displaystyle dm$ .
Đặt $\displaystyle OH=x$ . Qua $\displaystyle H$ dựng một mặt phẳng $\displaystyle \left ( { α } \right )$ vuông góc với trục $\displaystyle Ox$ ( hay song song với đáy của khối nón $\displaystyle \left ( { N } \right )$ ), cắt khối nón theo thiết diện là hình tròn tâm $\displaystyle H$ , bán kính $\displaystyle HK$ $\displaystyle \left ( { K∈OE } \right )$ .
Khi đó, ta có: $\displaystyle \frac{OH}{OA}=\frac{HK}{AE}⇔\frac{x}{4}=\frac{HK}{2}⇔HK=\frac{x}{2}$ .
Hơn nữa, mặt phẳng $\displaystyle \left ( { α } \right )$ luôn cắt phần giao nhau của khối nón $\displaystyle \left ( { N } \right )$ và khối trụ $\displaystyle \left ( { T } \right )$ theo thiết diện là $\displaystyle S\left ( { x } \right )$ , với $\displaystyle S\left ( { x } \right )$ là phần giới hạn bởi đường tròn $\displaystyle \left ( { H;\frac{x}{2} } \right )$ và đường tròn $\displaystyle \left ( { D;2 } \right )$ như hình vẽ dưới đây:
Gọi giao điểm của hai đường tròn lần lượt là $\displaystyle G$ và $\displaystyle M$ .
Xét $\displaystyle ΔGDH$ có $\displaystyle cos\widehat{D_{1}}=\frac{DG^{2}+DH^{2}-HG^{2}}{2.DG.DH}=\frac{2^{2}+2^{2}-\left ( { \frac{x}{2} } \right )^{2}}{2.2.2}=1-\frac{x^{2}}{32}$
$\displaystyle ⇒\widehat{D_{1}}=arccos\left ( { 1-\frac{x^{2}}{32} } \right )$ $\displaystyle ⇒\widehat{GDM}=2\widehat{D_{1}}=2arccos\left ( { 1-\frac{x^{2}}{32} } \right )$
Do đó, diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung $\displaystyle \wideparen{GHM}$ và dây $\displaystyle GM$ là:
$\displaystyle S_{1}=S_{quatDGHM}-S_{ΔDGM}=\frac{π.2^{2}.2arccos\left ( { 1-\frac{x^{2}}{32} } \right )}{2π}-\frac{1}{2}⋅2.2.sin\left [ { 2arccos\left ( { 1-\frac{x^{2}}{32} } \right ) } \right ]$
$\displaystyle =4arccos\left ( { 1-\frac{x^{2}}{32} } \right )-2sin\left [ { 2arccos\left ( { 1-\frac{x^{2}}{32} } \right ) } \right ]$ $\displaystyle \left ( { 1 } \right )$
Tương tự, xét $\displaystyle ΔGDH$ có $\displaystyle cos\widehat{H_{1}}=\frac{HG^{2}+HD^{2}-DG^{2}}{2.HG.HD}=\frac{\left ( { \frac{x}{2} } \right )^{2}+2^{2}-2^{2}}{2⋅\frac{x}{2}⋅2}=\frac{x}{8}$
$\displaystyle ⇒\widehat{H_{1}}=arccos\left ( { \frac{x}{8} } \right )$ $\displaystyle ⇒\widehat{GHM}=2\widehat{H_{1}}=2arccos\left ( { \frac{x}{8} } \right )$
Do đó, diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung $\displaystyle \wideparen{GEM}$ và dây $\displaystyle GM$ là:
$\displaystyle S_{2}=S_{quatHGEM}-S_{ΔHGM}=\frac{π.\left ( { \frac{x}{2} } \right )^{2}.2arccos\left ( { \frac{x}{8} } \right )}{2π}-\frac{1}{2}⋅\frac{x}{2}⋅\frac{x}{2}⋅sin\left [ { 2arccos\left ( { \frac{x}{8} } \right ) } \right ]$
$\displaystyle =\frac{x^{2}}{4}⋅arccos\left ( { \frac{x}{8} } \right )-\frac{x^{2}}{8}⋅sin\left [ { 2arccos\left ( { \frac{x}{8} } \right ) } \right ]$ $\displaystyle \left ( { 2 } \right )$
Từ $\displaystyle \left ( { 1 } \right )$ và $\displaystyle \left ( { 2 } \right )$ suy ra:
$\displaystyle S\left ( { x } \right )=S_{1}+S_{2}=$ $\displaystyle =4arccos\left ( { 1-\frac{x^{2}}{32} } \right )-2sin\left [ { 2arccos\left ( { 1-\frac{x^{2}}{32} } \right ) } \right ]+\frac{x^{2}}{4}⋅arccos\left ( { \frac{x}{8} } \right )-\frac{x^{2}}{8}⋅sin\left [ { 2arccos\left ( { \frac{x}{8} } \right ) } \right ]$
Vậy thể tích phần giao nhau của khối nón $\displaystyle \left ( { N } \right )$ và khối trụ $\displaystyle \left ( { T } \right )$ là:
$\displaystyle V=∫_{0}^{4} { \left [ { 4arccos\left ( { 1-\frac{x^{2}}{32} } \right )-2sin\left [ { 2arccos\left ( { 1-\frac{x^{2}}{32} } \right ) } \right ]+\frac{x^{2}}{4}⋅arccos\left ( { \frac{x}{8} } \right )-\frac{x^{2}}{8}⋅sin\left [ { 2arccos\left ( { \frac{x}{8} } \right ) } \right ] } \right ] }dx$
$\displaystyle ≈7,02$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi