Đăng nhập Đăng ký

ID: 19142

Nhận biết (M1)
Một đèn lồng đón năm mới được thiết kế theo hình bát diện đều (ta có thể hìnhdung hình bát diện đều là hai hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau $\displaystyle S.ABCD$ và $\displaystyle T.ABCD$ sử dụng chung một mặt đáy). Nghệ nhân đã thiết kế sẵn 12 tấm bìa cứng là các tam giác bằng nhau gồm 3 màu: xanh, đỏ, vàng; trên các tấm bìa cùng màu được đánh số từ 1 tới 4. Mỗi tấm bìa khi dán vào đèn lồng sẽ vừa kín một trong tám mặt bên của nó. Gọi $\displaystyle N$ là số cách mà nghệ nhân có thể chọn 8 tấm bìa dán lên 8 mặt bên của đèn lồng sao cho hai tấm bìa có chung một cạnh thì khác mà, hai tấm bìa có chung đúng một đỉnh thì khác số. Giá trị $\displaystyle \frac{N}{8}+16$ bằng bao nhiêu?

Đáp án đúng:
7792
Giải thích đáp án:
Chia 8 mặt bên của hình bắt diện đều làm 2 nhóm:
Nhóm $\displaystyle U$ : $\displaystyle \left ( { SAB } \right )$ , $\displaystyle \left ( { SCD } \right )$ , $\displaystyle \left ( { TAD } \right )$ , $\displaystyle \left ( { TBC } \right )$
Nhóm $\displaystyle V$ : $\displaystyle \left ( { SBC } \right )$ , $\displaystyle \left ( { SAD } \right )$ , $\displaystyle \left ( { TCD } \right )$ , $\displaystyle \left ( { TAB } \right )$
Nhận xét:
1. Hai mặt bất kì trong mỗi nhóm đều có đúng 1 đỉnh chung. $\displaystyle \left ( { 1 } \right )$
2. Một mặt bất kì của nhóm $\displaystyle U$ đều kề với đúng 3 mặt của nhóm $\displaystyle V$ và ngược lại. $\displaystyle \left ( { 2 } \right )$
3. Mỗi mặt của nhóm $\displaystyle U$ đều có duy nhất một mặt của nhóm $\displaystyle V$ không chung đỉnh và chung cạnh với nó và ngược lại. Ví dụ như cặp $\displaystyle \left ( { SAB } \right )$ và $\displaystyle \left ( { TCD } \right )$ ,... (ta gọi đây là mặt mặt đối nhau).
+) Đếm cách gắn số cho 8 mặt:
Vì $\displaystyle \left ( { 1 } \right )$ nên mỗi nhóm phải có đầy đủ các số lấy từ 1 đến 4
Do đó, số cách đánh số cho nhóm $\displaystyle U$ và nhóm $\displaystyle V$ là: $\displaystyle T_{1}=4!.4!=576$ (cách).
+) Đếm cách tô màu cho 8 mặt:
(Vì hai nhóm $\displaystyle U$ và $\displaystyle V$ có đặc điểm hoàn toàn tương tự nhau nên không mất tính tổng quát, dưới đây ta chọn nhóm $\displaystyle U$ để tô màu trước, rồi suy ra cách tô màu của nhóm $\displaystyle V$ )
Tiếp theo chúng ta sẽ xét các trường hợp về màu trong nhóm A:
TH1: Nhóm $\displaystyle U$ có 4 mặt cùng màu.
Chọn 1 màu cho 4 mặt ở nhóm có: 3 cách chọn
Vì $\displaystyle \left ( { 2 } \right )$ nên mỗi mặt ở nhóm $\displaystyle V$ có 2 cách chọn màu (2 màu còn lại), mà nhóm $\displaystyle V$ có 4 mặt phẳng, nên sẽ có $\displaystyle 2^{4}$ (cách)
Vậy TH1 có: $\displaystyle 3.2^{4}=48$ (cách).
TH2: Các mặt trong nhóm $\displaystyle U$ sử dụng đúng 2 màu. Ta có các TH nhỏ hơn:
+)TH2.1: Có 3 mặt cùng màu và 1 mặt khác màu với 3 mặt kia
Giả sử các mặt của $\displaystyle U$ là Đ-X-X-X, khi đó 3 mặt còn lại trong $\displaystyle V$ (không là mặt đối của với mặt Đ của $\displaystyle H$ ) đề kề với mặt màu Đỏ của $\displaystyle U$ nên 3 mặt này không thể tô màu Đỏ và cũng không được tô màu Xanh (vì chúng sẽ kề với mặt X của $\displaystyle U$ ), vậy 3 mặt này sẽ cùng tô màu vàng. Chỉ có một mặt của $\displaystyle V$ (là mặt đối với mặt Đỏ của $\displaystyle U$ ) là được phép tô màu Đỏ hoặc Vàng, nhưng nó cũng không được tô màu Vàng vì như vậy sẽ trùng với TH1.
Vậy ở TH2.1, mỗi cách tô màu cho nhóm $\displaystyle U$ thì có duy nhất 1 cách tô màu cho nhóm $\displaystyle V$ . Tóm lại TH2.1 có: $\displaystyle C_{3}^{2}.2!.C_{4}^{3}=24$ (cách)
(Giải thích: Chọn 2 màu cho nhóm $\displaystyle U$ có $\displaystyle C_{3}^{2}$ cách; hoán đổi màu có $\displaystyle 2!$ cách; chọn 3 trong 4 mặt của nhóm $\displaystyle B$ để tô giống màu có $\displaystyle C_{4}^{3}$ cách)
+)TH2.12: Có 2 mặt cùng màu và 2 mặt còn lại cũng cùng màu (khác với màu của hai mặt trước)
Giả sử các mặt của $\displaystyle U$ là Đ-Đ-X-X, khi đó mỗi mặt của $\displaystyle V$ đề kề với hai mặt màu Đỏ và Xanh của $\displaystyle U$ , nên mỗi mặt của $\displaystyle V$ chỉ có thể tô màu vàng.
Tóm lại TH2.2 có: $\displaystyle C_{3}^{2}.C_{4}^{2}.1.2!=36$ (cách)
(Giải thích: Chọn 2 màu cho nhóm $\displaystyle U$ có $\displaystyle C_{3}^{2}$ cách; chọn 2 mặt trong 4 mặt của nhóm $\displaystyle U$ để tô màu giống nhau; hai mặt còn lại của $\displaystyle U$ chỉ có 1 cách tô màu; có 2! cách hoán đổi thứ tự tô màu nói trên)
+) TH3: Các mặt của $\displaystyle U$ sử dụng đủ 3 màu.
Ta thấy TH3 không thể xảy ra. Vì nếu giải sử các mặt của $\displaystyle U$ là Đ-Đ-X-V. Khi đó ta gọi mặt $\displaystyle v_{1}$ (trong $\displaystyle V$ ) là mặt đối với mặt đang tô màu Đỏ của nhóm $\displaystyle U$ . Khi đó mặt $\displaystyle v_{1}$ cũng đang kề với 3 mặt có đủ 3 màu của nhóm $\displaystyle U$ , nên không còn cách nào để tô màu cho mặt $\displaystyle v_{1}$ .
Vậy từ 3 trường hợp trên, số cách tô màu cho 8 mặt là: $\displaystyle T_{2}=48+24+36=108$ (cách)
Vậy số cách mà nghệ nhân có thể thực hiện là: $\displaystyle N=T_{1}.T_{2}=576.108=62208$ (cách)
Suy ra: $\displaystyle \frac{N}{8}+16=7792$ .
----HẾT---

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi