Đăng nhập Đăng ký

ID: 19221

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho hai điểm $\displaystyle A\left ( { 2;0;1 } \right )$ và $\displaystyle B\left ( { -1;-6;7 } \right )$ và mặt phẳng $\displaystyle \left ( { P } \right ):x-y+z-3=0$ . Xét điểm $\displaystyle M$ thuộc mặt phẳng $\displaystyle \left ( { P } \right )$ , tìm giá trị nhỏ nhất của $\displaystyle 2MA^{2}+MB^{2}$ .

Đáp án đúng:
63
Giải thích đáp án:
Gọi điểm $\displaystyle I$ thỏa mãn $\displaystyle 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ .
$\displaystyle ⇒I\left ( { 1;-2;3 } \right )$ .
$\displaystyle 2MA^{2}+MB^{2}=2\left ( { \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} } \right )^{2}+\left ( { \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} } \right )^{2}$ $\displaystyle =3MI^{2}+2\overrightarrow{MI}\left ( { 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} } \right )+2IA^{2}+IB^{2}$
$\displaystyle =3MI^{2}+2IA^{2}+IB^{2}=3MI^{2}+54$ .
Để $\displaystyle 2MA^{2}+MB^{2}$ nhỏ nhất thì $\displaystyle M$ là hình chiếu của $\displaystyle I$ lên mặt phẳng $\displaystyle \left ( { P } \right )$ .
$\displaystyle ⇒IM_{min}=d\left ( { I,\left ( { P } \right ) } \right )=\frac{\left | { 1-\left ( { -2 } \right )+3-3 } \right |}{\sqrt{1^{2}+\left ( { -1 } \right )^{1}+1^{2}}}=\sqrt{3}$ .
Vậy $\displaystyle 2MA^{2}+MB^{2}_{min}=3\left ( { \sqrt{3} } \right )^{2}+54=63$ .
----HẾT---

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi