Đăng nhập Đăng ký

ID: 19259

Nhận biết (M1)
Chọn hệ trục tọa độ $\displaystyle Oxyz$ . Một trạm phát sóng được đặt tại vị trí $\displaystyle A\left ( { 0;\,1;3 } \right )$ và có vùng phủ sóng là hình cầu bán kính bằng $\displaystyle 5\,km$ . Một con đường thẳng được mô hình hóa bởi đường thẳng $\displaystyle d:\,\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}$ .

Phát biểu Đúng Sai
Véc tơ $\displaystyle \overrightarrow{u}=\left ( { 1;1;2 } \right )$ là véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\displaystyle d$ .
Mặt cầu tâm $\displaystyle A\left ( { 0;\,1;3 } \right )$ , bán kính $\displaystyle R=5$ có phương trình là $\displaystyle x^{2}+\left ( { y-1 } \right )^{2}+\left ( { z-3 } \right )^{2}=25$ .
Gọi $\displaystyle H$ là hình chiếu vuông góc của $\displaystyle A$ trên $\displaystyle d$ . Điểm $\displaystyle H$ có hoành độ bằng $\displaystyle -\frac{2}{3}$ .
Đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng dài $\displaystyle 8,16\,km$ .
Giải thích đáp án:
a) Sai.
Đường thẳng $\displaystyle d$ có véc tơ chỉ phương là $\displaystyle \overrightarrow{a}=\left ( { 1;-1;\,2 } \right )$ .
b) Đúng
Mặt cầu tâm $\displaystyle A\left ( { 0;\,1;3 } \right )$ , bán kính $\displaystyle R=5$ có phương trình là $\displaystyle x^{2}+\left ( { y-1 } \right )^{2}+\left ( { z-3 } \right )^{2}=25$ .
c) Sai
Ta có $\displaystyle d:\,\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}$ $\displaystyle ⇒d:\,\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1+t \\ y=-t \\ z=2t \end{array} \end{array} \right .$
Vì $\displaystyle H∈d⇒H\left ( { 1+t;\,-t;\,2t } \right )⇒\overrightarrow{AH}=\left ( { 1+t;\,-t-1;\,2t-3 } \right )$ .
Mà $\displaystyle AH⊥d⇒\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{a}=0⇔1+t+t+1+4t-6=0⇔t=\frac{2}{3}$ $\displaystyle ⇒x_{H}=\frac{5}{3}$
d) Sai
Giả sử $\displaystyle d$ cắt mặt cầu $\displaystyle \left ( { S } \right )$ : $\displaystyle x^{2}+\left ( { y-1 } \right )^{2}+\left ( { z-3 } \right )^{2}=25$ tại hai điểm $\displaystyle B,C$
Vì $\displaystyle B∈d⇒B\left ( { 1+t;\,-t;\,2t } \right )$
Mà $\displaystyle B∈\left ( { S } \right )⇒$ $\displaystyle \left ( { 1+t } \right )^{2}+\left ( { -t-1 } \right )^{2}+\left ( { 2t-3 } \right )^{2}=25⇔6t^{2}-8t-14=0⇔\left [ { \begin{array}{l} t=-1 \\ t=\frac{7}{3} \end{array} }\right.$
$\displaystyle ⇒B\left ( { 0;\,1;2 } \right );C\left ( { \frac{10}{3};\,-\frac{7}{3};\,\frac{14}{3} } \right )⇒BC=\sqrt{\frac{100}{9}+\frac{100}{9}+\frac{64}{9}}=\sqrt{\frac{88}{3}}≈5,42$ .
Suy ra đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng dài $\displaystyle 5,42\,km$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi