Đăng nhập Đăng ký

ID: 19412

Nhận biết (M1)
Cho hình chóp $\displaystyle S.ABCD$ có đáy $\displaystyle ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng $\displaystyle a$ , cạnh bên $\displaystyle SA=a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $\displaystyle M,N$ lần lượt là trung điểm của $\displaystyle SB$ và $\displaystyle SD$ . Gọi $\displaystyle \alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\displaystyle (AMN)$ và $\displaystyle (SBD)$ . Tính $\displaystyle \sin \alpha$ .

Giải thích đáp án:
Cách 1: Ta có: $\displaystyle M, N$ lần lượt là trung điểm của $\displaystyle SB$ và $\displaystyle SD$ nên $\displaystyle MN//BD$ .
Gọi $\displaystyle O = AC \cap BD \Rightarrow SO \perp BD, SO \perp MN$ .
Gọi $\displaystyle I = SO \cap MN \Rightarrow I$ là trung điểm của $\displaystyle MN, SO \Rightarrow AI \perp MN$ .
Ta có: $\displaystyle (AMN) \cap (SBD) = MN; AI \perp MN, SO \perp MN$ nên $\displaystyle ((AMN); (SBD)) = (AI; SO)$ .
Xét tam giác $\displaystyle SAO$ vuông tại $\displaystyle A$ có $\displaystyle SA = a, AO = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2} a$ nên $\displaystyle SO = \sqrt{SA^2 + AO^2} = \frac{\sqrt{6}}{2} a$
$\displaystyle \Rightarrow \sin \angle ASO = \frac{1}{\sqrt{3}}; \cos \angle ASO = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .
Mà $\displaystyle \angle AIO = 2 \cdot \angle ASO \Rightarrow \sin \angle AIO = 2 \cdot \sin \angle ASO \cdot \cos \angle ASO = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ .
Cách 2: Toạ độ hoá.
Mở rộng:
Xác định giao tuyến, tìm 2 đường thẳng lần lượt nằm trong 2 $\displaystyle MP$ và cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi