Đăng nhập Đăng ký

ID: 19417

Nhận biết (M1)
Có bao nhiêu số nguyên $\displaystyle x$ sao cho tồn tại số thực dương $\displaystyle y$ thoả mãn biểu thức $\displaystyle 2^{x^2+y^2}=2\cdot 2^{y-x}$ ?

Giải thích đáp án:
Ta có: $\displaystyle 2^{x^2+y^2}=2\cdot 2^{y-x}\Leftrightarrow 2^{x^2+y^2}=2^{y-x+1}$
$\displaystyle \Leftrightarrow x^2+y^2=y-x+1$
$\displaystyle \Leftrightarrow y^2-y=-x^2-x+1$ $\displaystyle ()$
Yêu cầu bài toán $\displaystyle \Leftrightarrow$ tìm $\displaystyle x\in\mathbb{Z}$ để phương trình $\displaystyle ()$ có nghiệm $\displaystyle y$ dương.
Xét hàm số $\displaystyle f(y)=y^2-y$ trên $\displaystyle (0,+\infty)$
$\displaystyle f'(y)=2y-1, f'(y)=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}.$
BBT:
$\displaystyle \begin{array}{|c|ccccc|} \hline y & 0 & & \frac{1}{2} & & +\infty \\ \hline f'(y) & & - & 0 & + & \\ \hline f(y) & 0 & \searrow & -\frac{1}{4} & \nearrow & +\infty \\ \hline \end{array}$
Dựa vào BBT ta có :
Phương trình () có nghiệm $\displaystyle y$ dương $\displaystyle \Leftrightarrow -x^2-x+1\ge -\frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{-1-\sqrt{6}}{2}\le x\le \frac{-1+\sqrt{6}}{2}$
Vì $\displaystyle x\in Z$ nên $\displaystyle x\in \{-1; 0\}$
Vậy có $\displaystyle 2$ số nguyên $\displaystyle x$ để phương trình () có nghiệm thực $\displaystyle y$ dương.
Mở rộng:
Hàm đặc trưng: Biến đổi PT mũ về $\displaystyle x^2+y^2=y-x+1$ . Đưa về dạng $\displaystyle f(y)=g(x)$ . Tìm điều kiện để $\displaystyle g(x)$ thuộc miền giá trị của $\displaystyle f(y)$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi