Đăng nhập Đăng ký

ID: 19420

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ cho $\displaystyle A(1; 1; 1)$ và hai đường thẳng $\displaystyle d_1: \begin{cases} x = 2 - 2t \\ y = 1 \\ z = -2 + t \end{cases}, d_2: \begin{cases} x = 5 + 3s \\ y = 1 \\ z = 3 - s \end{cases}$ . Gọi $\displaystyle B, C$ là các điểm lần lượt di động trên $\displaystyle d_1, d_2$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\displaystyle P = AB + BC + CA$ là:

Giải thích đáp án:
- Từ giả thiết suy ra hai đường thẳng $\displaystyle d_1, d_2$ cùng nằm trong mặt phẳng $\displaystyle (\alpha): y = 1$ và $\displaystyle A \in (\alpha)$ .
- $\displaystyle d_1$ có một véc tơ chỉ phương $\displaystyle \vec{u}_1 = (-2; 0; 1)$ ; $\displaystyle d_2$ có một véc tơ chỉ phương $\displaystyle \vec{u}_2 = (3; 0; -1)$ .
Do $\displaystyle [\vec{u}_1, \vec{u}_2] = (0; 1; 0) \neq \vec{0}$ nên $\displaystyle d_1$ cắt $\displaystyle d_2$ .
$\displaystyle \bullet$ Gọi $\displaystyle (\beta)$ là mặt phẳng qua $\displaystyle A$ và vuông góc với $\displaystyle d_1 \Rightarrow (\beta): -2x + z + 1 = 0$ .
$\displaystyle \bullet$ Gọi $\displaystyle I = (\beta) \cap d_1$ , thì tọa độ của $\displaystyle I$ là nghiệm của hệ
$\displaystyle \begin{cases} x = 2 - 2t \\ y = 1 \\ z = -2 + t \\ -2x + z + 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow I(0; 1; -1) \Rightarrow A_1(-1; 1; -3).$
$\displaystyle \bullet$ Gọi $\displaystyle (\delta)$ là mặt phẳng qua $\displaystyle A$ và vuông góc với $\displaystyle d_2 \Rightarrow (\delta): 3x - z - 2 = 0$ .
$\displaystyle \bullet$ Gọi $\displaystyle J = (\delta) \cap d_2$ , thì tọa độ của $\displaystyle J$ là nghiệm của hệ
$\displaystyle \begin{cases} x = 5 + 3s \\ y = 1 \\ z = 3 - s \\ 3x - z - 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow J(2; 1; 4) \Rightarrow A_2(3; 1; 7).$
$\displaystyle \bullet$ Ta có: $\displaystyle P = AB + BC + CA = A_1B + BC + CA_2 \geq A_1A_2$
$\displaystyle \Rightarrow P$ đạt GTNN khi $\displaystyle P = A_1A_2 \Rightarrow P_{min} = A_1A_2 = 2\sqrt{29}$ .
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\displaystyle P$ là $\displaystyle 2\sqrt{29}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi