Đăng nhập Đăng ký

ID: 19547

Vận dụng cao (M4)
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $\displaystyle m$ để phương trình $\displaystyle \log_2\left(\frac{\sqrt{2x^2+mx+1}}{x+2}\right) + \sqrt{2x^2+mx+1} = x+2$ có hai nghiệm thực phân biệt?

Giải thích đáp án:
Điều kiện: $\displaystyle \begin{cases} x+2 > 0 \\ 2x^2+mx+1 > 0 \end{cases}$ .
Ta có $\displaystyle \log_2\left(\frac{\sqrt{2x^2+mx+1}}{x+2}\right) + \sqrt{2x^2+mx+1} = x+2$
$\displaystyle \Leftrightarrow \log_2\sqrt{2x^2+mx+1} + \sqrt{2x^2+mx+1} = \log_2(x+2) + x + 2$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(\sqrt{2x^2+mx+1}) = f(x+2) \quad (1)$
Xét hàm số $\displaystyle f(t) = \log_2 t + t$ với $\displaystyle t \in (0;+\infty)$ có $\displaystyle f'(t) = \frac{1}{t\ln2} + 1 > 0, \forall t \in (0;+\infty)$ .
$\displaystyle \Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $\displaystyle (0;+\infty)$ nên $\displaystyle (1) \Leftrightarrow \sqrt{2x^2+mx+1} = x+2$ .
Từ đó $\displaystyle \begin{cases} x > -2 \\ 2x^2+mx+1 = (x+2)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x^2 + (m-4)x - 3 = 0 \quad (2) \end{cases}$
YCBT $\displaystyle \Leftrightarrow$ (2) có hai nghiệm phân biệt $\displaystyle x_1, x_2$ lớn hơn $\displaystyle -2$
$\displaystyle \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta = (m-4)^2 + 12 > 0 \\ (x_1+2)+(x_2+2) > 0 \\ (x_1+2)(x_2+2) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \in \mathbb{R} \\ x_1+x_2+4 > 0 \\ x_1x_2+2(x_1+x_2)+4 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \in \mathbb{R} \\ 4-m+4 > 0 \\ -3+2(4-m)+4 > 0 \end{cases}$
$\displaystyle \Leftrightarrow \begin{cases} m < 8 \\ 9 \Leftrightarrow m < \frac{9}{2} \end{cases}$ mà $\displaystyle m \in \mathbb{N}^* \Rightarrow m \in {1;2;3;4}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi