Đăng nhập Đăng ký

ID: 19549

Vận dụng cao (M4)
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương $\displaystyle a$ sao cho ứng với mỗi $\displaystyle a$ , tồn tại ít nhất số thực $\displaystyle b$ thỏa mãn $\displaystyle a^{\log_5 8} + 2^{\log_5(5a)} = (b + \sqrt{4 - b^2})(6 + 2b\sqrt{4 - b^2})$ ?

Giải thích đáp án:
PT đã cho tương đương với
$\displaystyle 8^{\log_5 a} + 2.2^{\log_5 a} = (b + \sqrt{4 - b^2})(4 + 2b\sqrt{4 - b^2} + 2)$
$\displaystyle \Leftrightarrow (2^{\log_5 a})^3 + 2.2^{\log_5 a} = (b + \sqrt{4 - b^2})\left[(b + \sqrt{4 - b^2})^2 + 2\right]$
$\displaystyle \Leftrightarrow (2^{\log_5 a})^3 + 2.2^{\log_5 a} = (b + \sqrt{4 - b^2})^3 + 2(b + \sqrt{4 - b^2})$ .
Xét hàm số $\displaystyle f(t) = t^3 + 2t \Rightarrow f'(t) = 3t^2 + 2 > 0, \forall t$ nên hàm số đồng biến trên $\displaystyle \mathbb{R}$ .
Do đó PT đã cho tương đương với: $\displaystyle 2^{\log_5 a} = b + \sqrt{4 - b^2}$ (1).
Xét hàm số $\displaystyle g(b) = b + \sqrt{4 - b^2}, b \in [-2; 2] \Rightarrow g'(b) = 1 - \frac{b}{\sqrt{4 - b^2}} \Rightarrow g'(b) = 1 - \frac{b}{\sqrt{4 - b^2}} = 0 \Leftrightarrow b = \sqrt{2}$ .
Ta có bảng biến thiên như sau:
| $\displaystyle b$ | $\displaystyle -2$ | | $\displaystyle \sqrt{2}$ | | $\displaystyle 2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\displaystyle g'(b)$ | | $\displaystyle +$ | $\displaystyle 0$ | $\displaystyle -$ | |
| $\displaystyle g(b)$ | $\displaystyle -2$ | $\displaystyle \nearrow$ | $\displaystyle 2\sqrt{2}$ | $\displaystyle \searrow$ | $\displaystyle 2$ |
PT (1) có nghiệm $\displaystyle b$ khi và chỉ khi $\displaystyle -2 \le 2^{\log_5 a} \le 2\sqrt{2} \Leftrightarrow 2^{\log_5 a} \le 2\sqrt{2} \Leftrightarrow \log_5 a \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow a \le 5^{\frac{3}{2}}$ .
Mà $\displaystyle a$ là số nguyên dương nên $\displaystyle a \in \{1; 2; \dots; 11\}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi