Đăng nhập Đăng ký

ID: 19551

Vận dụng cao (M4)
Cho bất phương trình $\displaystyle \sqrt[3]{x^4 + x^2 + m} - \sqrt[3]{2x^2 + 1} + x^2(x^2 - 1) > 1 - m$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $\displaystyle m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $\displaystyle x > 1$ .

Giải thích đáp án:
Ta có: $\displaystyle \sqrt[3]{x^4 + x^2 + m} - \sqrt[3]{2x^2 + 1} + x^2(x^2 - 1) > 1 - m$
$\displaystyle \Leftrightarrow (x^4 + x^2 + m) + \sqrt[3]{x^4 + x^2 + m} - \sqrt[3]{2x^2 + 1} - (2x^2 + 1) > 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow (x^4 + x^2 + m) + \sqrt[3]{x^4 + x^2 + m} > \sqrt[3]{2x^2 + 1} + (2x^2 + 1)$ (1)
Xét hàm số $\displaystyle f(t) = t^3 + t, t \in \mathbb{R}$ .
Có $\displaystyle f'(t) = 3t^2 + 1 > 0, \forall t \in \mathbb{R}$ nên hàm số $\displaystyle f(t)$ đồng biến trên $\displaystyle \mathbb{R}$ .
Bất phương trình (1) có dạng $\displaystyle f(\sqrt[3]{x^4 + x^2 + m}) > f(\sqrt[3]{2x^2 + 1}) \Leftrightarrow \sqrt[3]{x^4 + x^2 + m} > \sqrt[3]{2x^2 + 1}$
$\displaystyle \Leftrightarrow x^4 + x^2 + m > 2x^2 + 1 \Leftrightarrow m > -x^4 + x^2 + 1$ .
Xét hàm số $\displaystyle g(x) = -x^4 + x^2 + 1$ với $\displaystyle x \in (1; +\infty)$ .
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $\displaystyle x > 1 \Leftrightarrow m > g(x), \forall x > 1$ .
$\displaystyle g'(x) = -4x^3 + 2x = -2x(2x^2 - 1) < 0, \forall x > 1$ .
Bảng biến thiên:
| $\displaystyle x$ | $\displaystyle 1$ | | $\displaystyle +\infty$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\displaystyle g'(x)$ | | $\displaystyle -$ | |
| $\displaystyle g(x)$ | $\displaystyle 1$ | $\displaystyle \searrow$ | $\displaystyle -\infty$ |
Tập giá trị của hàm số $\displaystyle g(x)$ trên $\displaystyle (1; +\infty)$ là $\displaystyle (-\infty; 1)$ .
Vậy $\displaystyle m > g(x), \forall x > 1 \Leftrightarrow m \ge 1$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi