Đăng nhập Đăng ký

ID: 19552

Vận dụng cao (M4)
Cho hàm số $\displaystyle f(x)$ liên tục trên $\displaystyle \mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $\displaystyle n$ để phương trình sau có nghiệm $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ : $\displaystyle f(-16\sin^2 x + 6\sin 2x + 8) = f(n(n+1))$

Giải thích đáp án:
Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số $\displaystyle f(x)$ luôn đồng biến trên $\displaystyle \mathbb{R}$ , do đó
$\displaystyle f(-16\sin^2 x + 6\sin 2x + 8) = f(n(n+1)) \Leftrightarrow -16\sin^2 x + 6\sin 2x + 8 = n(n+1)$
Ta xét
$\displaystyle -16\sin^2 x + 6\sin 2x + 8 = n(n+1)$
$\displaystyle \Leftrightarrow -8(1 - \cos 2x) + 6\sin 2x + 8 - n(n+1) = 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow 8\cos 2x + 6\sin 2x - n(n+1) = 0$
Để phương trình có nghiệm $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ thì $\displaystyle 8^2 + 6^2 \ge (n^2 + n)^2 \Leftrightarrow (n^2 + n)^2 \le 100 \Leftrightarrow -10 \le n^2 + n \le 10$
$\displaystyle \Leftrightarrow n^2 + n \le 10 \Leftrightarrow \frac{-1 - \sqrt{41}}{2} \le n \le \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$ (do $\displaystyle n^2 + n \ge -10, \forall n$ ).
Vì $\displaystyle n$ nguyên nên $\displaystyle n \in \{-3; -2; -1; 0; 1; 2\}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi