Đăng nhập Đăng ký

ID: 19553

Vận dụng cao (M4)
Cho hàm số $\displaystyle y = f(x)$ liên tục trên $\displaystyle \mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Số nghiệm của phương trình $\displaystyle \frac{f^3(x) + 3f^2(x) + 4f(x) + 2}{\sqrt{3f(x) + 1}} = 3f(x) + 2$ là

Giải thích đáp án:
Vì $\displaystyle f(x) \ge -\frac{1}{4}$ nên $\displaystyle 3f(x) + 1 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$ .
Đặt $\displaystyle t = f(x)$ ta được $\displaystyle \frac{t^3 + 3t^2 + 4t + 2}{\sqrt{3t + 1}} = 3t + 2 \Leftrightarrow (t + 1)^3 + (t + 1) = (\sqrt{3t + 1})^3 + \sqrt{3t + 1} \quad ()$
Xét hàm đặc trưng $\displaystyle g(u) = u^3 + u$ trên $\displaystyle \mathbb{R}$ .
Ta có $\displaystyle g'(u) = 3u^2 + 1 > 0, \forall u \in \mathbb{R}$ .
Do đó $\displaystyle () \Leftrightarrow g(t + 1) = g(\sqrt{3t + 1}) \Leftrightarrow t + 1 = \sqrt{3t + 1} \Leftrightarrow \begin{cases} t \ge -1 \\ t^2 + 2t + 1 = 3t + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t = 0 \\ t = 1 \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} f(x) = 0 \quad (1) \\ f(x) = 1 \quad (2) \end{array}\right.$
Dựa vào đồ thị phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt và phương trình (2) có 6 nghiệm phân biệt (không trùng nhau).
Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm phân biệt.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi