Đăng nhập Đăng ký

ID: 19582

Nhận biết (M1)
I. Tổng quan lý thuyết
1. Giới hạn hàm số
Định nghĩa : Giả sử hàm số $\displaystyle f(x)$ được xác định với mọi điểm $\displaystyle x \in(a, b) \backslash\left\{x_0\right\}$ , ta nói giới hạn của hàm số $\displaystyle f(x)$ khi $\displaystyle x$ tiến dần tới $\displaystyle x_0$ là $\displaystyle L$ và viết: $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=L$ .
Định lý: Giới hạn của hàm số, nếu tồn tại, là duy nhất.
Các phép toán trên giới hạn: Giả sử $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=a, \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=b$ ( $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ là các số thực hữu hạn)
- Tổng: $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]=a+b$
- Hiệu: $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0}[f(x)-g(x)]=a-b$
- Tích: $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f(x) . g(x)=a . b$
- Thương: $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{b}$ nếu $\displaystyle b \neq 0$
2. Vô cùng bé. Vô cùng lớn
a. Vô cùng bé (VCB)
Định nghĩa: Hàm số $\displaystyle f(x)$ được gọi là một VCB khi $\displaystyle x \rightarrow x_0$ nếu $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=0$ .
Tính chất:
- Tổng 2 VCB là một VCB
- Tích của VCB với một số bị chặn là VCB
- Tích của các VCB là một VCB
So sánh các VCB: Giả sử $\displaystyle \alpha(x)$ và $\displaystyle \beta(x)$ là các VCB khi $\displaystyle x \rightarrow x_0$ . Xét $\displaystyle K=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$
- $\displaystyle K=0 \Rightarrow \alpha(x)$ là VCB bậc cao hơn $\displaystyle \beta(x) . \mathrm{KH}: \alpha(x)=o(\beta(x))$
- $\displaystyle K=\infty \Rightarrow \alpha(x)$ là VCB bậc thấp hơn $\displaystyle \beta(x)$
- $\displaystyle K \neq 0 \Rightarrow \alpha(x), \beta(x)$ là các VCB cùng bậc
$\displaystyle \Rightarrow K=1: \alpha(x), \beta(x)$ là 2 VCB tương đương. $\displaystyle \mathrm{KH}: \alpha(x) \sim \beta(x)$ .
Một số VCB tương đương hay dùng khi $\displaystyle x \rightarrow 0$ :
     $\displaystyle \begin{aligned} & +x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim e^x-1 \sim \frac{a^x-1}{\ln a} \sim \ln (1+x) \\ & +(1+x)^\alpha-1 \sim \alpha x \\ & +1-\cos x \sim \frac{x^2}{2} \end{aligned}$
Chú ý:
- Hiệu 2 VCB tương đương là một VCB bậc cao hơn.
- Tích 2 VCB là một VCB bậc cao hơn.
b. Vô cùng lớn (VCL)
Định nghĩa: Hàm số $\displaystyle f(x)$ được gọi là một VCL khi $\displaystyle x \rightarrow x_0$ nếu $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$ .
So sánh các VCL: Giả sử $\displaystyle \alpha(x)$ và $\displaystyle \beta(x)$ là các VCL khi $\displaystyle x \rightarrow x_0$ . Xét $\displaystyle K=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$
- $\displaystyle K=\infty \Rightarrow \alpha(x)$ là VCL bậc cao hơn $\displaystyle \beta(x)$
- $\displaystyle K=0 \Rightarrow \alpha(x)$ là VCL bậc thấp hơn $\displaystyle \beta(x)$
- $\displaystyle K \neq 0 \Rightarrow \alpha(x), \beta(x)$ là các VCL cùng bậc
$\displaystyle \Rightarrow K=1: \alpha(x), \beta(x)$ là 2 VCL tương đương. $\displaystyle \mathrm{KH}: \alpha(x) \sim \beta(x)$ .
3. Các dạng vô định
Các dạng vô định: $\displaystyle \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 . \infty, \infty-\infty, 1^{\infty}, \infty^0, 0^0$ .
a. Dạng $\displaystyle \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 . \infty$
Các phương pháp giải
Phương pháp 1: Thay thế tương đương
     $\displaystyle \begin{aligned} & \text { Nếu }\left\{\begin{array}{l} \alpha_1(x) \sim \alpha_2(x) \\ \beta_1(x) \sim \beta_2(x) \end{array} \text { khi } x \rightarrow x_0\right. \\ & \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\alpha_1(x)}{\beta_1(x)}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{\alpha_2(x)}{\beta_2(x)} \\ & \lim _{x \rightarrow x_0} \alpha_1(x) \cdot \beta_1(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} \alpha_2(x) \cdot \beta_2(x) \end{aligned}$
Chú ý: Không nên thay thế tương đương vào hiệu.
Phương pháp 2: Áp dụng Quy tắc L'hospital (Lôpitan) (dạng $\displaystyle \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ )
     $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$
Chú ý: Dạng $\displaystyle 0 . \infty$ chuyển về 2 dạng trên.
Phương pháp 3: Áp dụng quy tắc ngắt bỏ:
- Ngắt bỏ VCB bậc cao:
VD: Khi $\displaystyle x \rightarrow 0: x+x^2 \sim x$
- Ngắt bỏ VCL bậc thấp:
VD: Khi $\displaystyle x \rightarrow \infty: x+x^3 \sim x^3$
b. Dạng $\displaystyle \infty-\infty$
Phương pháp: Quy đồng đưa về $\displaystyle \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$
c. Dạng $\displaystyle 1^{\infty}, \infty^0, 0^0$
Phương pháp: $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} u(x)^{v(x)}=e^{\lim _{x \rightarrow x_0} v(x) \ln (u(x))}=e^I$
4. Nguyên lí kẹp:
Cho các hàm số $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ thỏa mãn:
$\displaystyle \begin{aligned} & \quad\left\{\begin{array}{l} f(x) \leq g(x) \leq h(x) \\ \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} h(x)=L \end{array}\right. \\ & \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=L \end{aligned}$
II. Các ví dụ minh họa

Đáp án đúng:

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi