Đăng nhập Đăng ký

ID: 19737

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho hai đường thẳng chéo nhau:
$\displaystyle d_1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2 - t \end{cases} \quad \text{và} \quad d_2: \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{-2} = \frac{z - 1}{2}$
Với điểm $\displaystyle A \in d_1$ và $\displaystyle B \in d_2$ sao cho $\displaystyle AB$ là đoạn vuông góc chung của $\displaystyle d_1$ và $\displaystyle d_2$ . Cho điểm $\displaystyle M(3; 0; 1) \in d_1$ và điểm $\displaystyle N(2; -3; 1) \in d_2$ . Lấy điểm $\displaystyle P$ thay đổi trên đoạn thẳng $\displaystyle AM$ và điểm $\displaystyle Q$ thay đổi trên đoạn thẳng $\displaystyle BN$ .
Tổng cao độ hai điểm $\displaystyle P_0, Q_0$ sao cho độ dài đoạn thẳng $\displaystyle PQ$ đạt giá trị nhỏ nhất $\displaystyle PQ_{\min}$ là
Tổng tung độ hai điểm $\displaystyle P_1, Q_1$ sao cho độ dài đoạn thẳng $\displaystyle PQ$ đạt giá trị lớn nhất $\displaystyle PQ_{\max}$ là

`1`
`2`
Giải thích đáp án:
$\displaystyle A \in d_1 \Rightarrow A(1+2t; -1+t; 2-t)$ . Vectơ chỉ phương (VTCP) $\displaystyle \vec{u}_1 = (2; 1; -1)$ .
$\displaystyle B \in d_2 \Rightarrow B(2+m; -3-2m; 1+2m)$ . VTCP $\displaystyle \vec{u}_2 = (1; -2; 2)$ .
Vectơ $\displaystyle \vec{AB} = (m-2t+1; -2m-t-2; 2m+t-1)$ .
Vì $\displaystyle AB$ là đoạn vuông góc chung nên:
$\displaystyle \begin{cases} \vec{AB} \cdot \vec{u}_1 = 0 \\ \vec{AB} \cdot \vec{u}_2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2(m-2t+1) + (-2m-t-2) - (2m+t-1) = 0 \\ 1(m-2t+1) - 2(-2m-t-2) + 2(2m+t-1) = 0 \end{cases}$
$\displaystyle \Leftrightarrow \begin{cases} -2m - 6t + 1 = 0 \\ 9m + 2t + 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = 0{,}3 \\ m = -0{,}4 \end{cases}$
Suy ra: $\displaystyle A(1{,}6; -0{,}7; 1{,}7)$ và $\displaystyle B(1{,}6; -2{,}2; 0{,}2)$ .
Kiểm tra tham số của điểm $\displaystyle M(3;0;1) \in d_1 \Rightarrow t_M = 1$ . Điểm $\displaystyle N(2;-3;1) \in d_2 \Rightarrow m_N = 0$ .
Vì $\displaystyle t_A = 0{,}3 \in [0{,}3; 1]$ và $\displaystyle m_B = -0{,}4 \in [-0{,}4; 0]$ , nên $\displaystyle A$ thuộc đoạn $\displaystyle AM$ và $\displaystyle B$ thuộc đoạn $\displaystyle BN$ .
Giá trị nhỏ nhất ( $\displaystyle PQ_{\min}$ ): Đạt được chính tại đoạn vuông góc chung $\displaystyle \Rightarrow P_0 \equiv A, Q_0 \equiv B$ .
Tổng cao độ: $\displaystyle z_{P_0} + z_{Q_0} = 1{,}7 + 0{,}2 = 1{,}9$
Giá trị lớn nhất ( $\displaystyle PQ_{\max}$ ): Hàm khoảng cách đạt max tại các đầu mút. Thử các đoạn, ta thấy đoạn $\displaystyle MN$ dài nhất.
$\displaystyle P_1 \equiv M(3;0;1)$ và $\displaystyle Q_1 \equiv N(2;-3;1)$ .
Tổng tung độ: $\displaystyle y_{P_1} + y_{Q_1} = 0 + (-3) = -3$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi