Đăng nhập Đăng ký

ID: 19739

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho điểm $\displaystyle M(1; -1; 0)$ , mặt phẳng $\displaystyle (P): x + y + z - 4 = 0$ và đường thẳng $\displaystyle d$ có phương trình:
$\displaystyle d: \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 5 + t \\ z = -1 - 2t \end{cases}$
Tìm tung độ điểm $\displaystyle A$ thuộc mặt phẳng $\displaystyle (P)$ sao cho góc giữa đường thẳng $\displaystyle MA$ và đường thẳng $\displaystyle d'$ bằng $\displaystyle 45^\circ$ , đồng thời khoảng cách từ $\displaystyle A$ đến đường thẳng $\displaystyle d'$ là nhỏ nhất. (làm tròn đến chữ số thứ 3 sau dấu phẩy)

`1`
Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle A(x; y; z) \in (P) \Rightarrow x + y + z - 4 = 0 \Rightarrow z = 4 - x - y$ .
Vectơ $\displaystyle \vec{MA} = (x-1; y+1; z)$ . VTCP của $\displaystyle d'$ là $\displaystyle \vec{u} = (-1; 1; -2)$ .
Góc giữa $\displaystyle MA$ và $\displaystyle d'$ bằng $\displaystyle 45^\circ$ :
$\displaystyle \cos 45^\circ = \frac{\vert{}\vec{MA} \cdot \vec{u}\vert{}}{\vert{}\vec{MA}\vert{} \vert{}\vec{u}\vert{}} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\vert{}-(x-1) + (y+1) - 2z\vert{}}{\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2+z^2}\sqrt{6}}$
$\displaystyle \Leftrightarrow 3\left((x-1)^2+(y+1)^2+z^2\right) = (-x + y - 2z + 2)^2$ .
Thay $\displaystyle z = 4 - x - y$ và rút gọn phương trình trên, ta nhận được phương trình quỹ tích hình chiếu của $\displaystyle A$ trên mặt phẳng $\displaystyle Oxy$ là một đường Hypebol:
$\displaystyle 3(y - 3)^2 - 5(x - 1{,}8)^2 = 28{,}8 \Leftrightarrow \frac{(y-3)^2}{9{,}6} - \frac{(x-1{,}8)^2}{5{,}76} = 1$ .
Khoảng cách từ $\displaystyle A$ đến đường thẳng $\displaystyle d'$ đạt giá trị nhỏ nhất tại vị trí tương ứng với đỉnh của nhánh Hypebol này.
Tung độ tại đỉnh Hypebol là:
$\displaystyle y = 3 \pm \sqrt{9{,}6} = 3 \pm \frac{4\sqrt{15}}{5}$ .
Lấy giá trị dương (theo yêu cầu của điểm tương ứng), ta được:
$\displaystyle y \approx 3 + 3{,}098 = 6{,}098$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi