Đăng nhập Đăng ký

ID: 19741

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho đường thẳng $\displaystyle d: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{1}$ và các điểm $\displaystyle A(1; 2; -1), B(2; 1; -2), C(1; 0; -1)$ . Gọi $\displaystyle M(a; b; c)$ thuộc đường thẳng $\displaystyle d$ sao cho $\displaystyle MA^2 - MB^2 + MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $\displaystyle a + b + c$ .

Giải thích đáp án:
Điểm $\displaystyle M \in d \Rightarrow M(1+t; t; -1+t)$ .
Tính các bình phương độ dài:
$\displaystyle MA^2 = (1+t-1)^2 + (t-2)^2 + (-1+t+1)^2 = 3t^2 - 4t + 4$ .
$\displaystyle MB^2 = (1+t-2)^2 + (t-1)^2 + (-1+t+2)^2 = 3t^2 - 2t + 3$ .
$\displaystyle MC^2 = (1+t-1)^2 + (t-0)^2 + (-1+t+1)^2 = 3t^2$ .
Lập biểu thức $\displaystyle f(t)$ :
$\displaystyle f(t) = MA^2 - MB^2 + MC^2 = (3t^2 - 4t + 4) - (3t^2 - 2t + 3) + 3t^2 = 3t^2 - 2t + 1$ .
Biểu thức $\displaystyle f(t)$ là một tam thức bậc hai, đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh parabol:
$\displaystyle t = \frac{-(-2)}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}$ .
Tọa độ điểm $\displaystyle M(a; b; c)$ :
$\displaystyle a = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
$\displaystyle b = \frac{1}{3}$
$\displaystyle c = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$
Tổng cần tìm: $\displaystyle a + b + c = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = 1$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi