Đăng nhập Đăng ký

ID: 19742

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho ba điểm $\displaystyle A(1; 2; 0)$ , $\displaystyle B(1; -1; 3)$ , $\displaystyle C(1; -1; -1)$ và đường thẳng $\displaystyle d: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{1}$ . Gọi $\displaystyle M(x_M; y_M; z_M)$ là điểm nằm trên đường thẳng $\displaystyle d$ sao cho biểu thức $\displaystyle P = 2MA^2 - MB^2 + MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức $\displaystyle T = x_M - y_M + 3z_M$ .

`1`
Giải thích đáp án:
Tìm tọa độ điểm I thỏa mãn $\displaystyle 2\vec{IA} - \vec{IB} + \vec{IC} = \vec{0}$
Giả sử $\displaystyle I(x; y; z)$ , ta có hệ phương trình:
$\displaystyle \begin{cases} 2(1 - x) - (1 - x) + (1 - x) = 0 \\ 2(2 - y) - (-1 - y) + (-1 - y) = 0 \\ 2(0 - z) - (3 - z) + (-1 - z) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2 - 2x = 0 \\ 4 - 2y = 0 \\ -2z - 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = -2 \end{cases}$
Suy ra $\displaystyle I(1; 2; -2)$ .
Chèn điểm $\displaystyle I$ vào biểu thức $\displaystyle P = 2MA^2 - MB^2 + MC^2$ :
$\displaystyle P = 2(\vec{MI} + \vec{IA})^2 - (\vec{MI} + \vec{IB})^2 + (\vec{MI} + \vec{IC})^2$
$\displaystyle P = 2MI^2 + 2\vec{MI} \cdot (2\vec{IA} - \vec{IB} + \vec{IC}) + 2IA^2 - IB^2 + IC^2$
Do $\displaystyle 2\vec{IA} - \vec{IB} + \vec{IC} = \vec{0}$ nên $\displaystyle P = 2MI^2 + \text{const}$ .
Biểu thức $\displaystyle P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\displaystyle MI$ nhỏ nhất $\displaystyle \Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $\displaystyle I$ lên đường thẳng $\displaystyle d$ .
Vì $\displaystyle M \in d$ nên $\displaystyle M(1+t; t; -1+t)$ . Ta có $\displaystyle \vec{IM} = (t; t-2; t+1)$ .
Đường thẳng $\displaystyle d$ có vectơ chỉ phương (VTCP) $\displaystyle \vec{u}_d = (1; 1; 1)$ .
Vì $\displaystyle MI \perp d$ nên $\displaystyle \vec{IM} \cdot \vec{u}_d = 0$ :
$\displaystyle 1(t) + 1(t-2) + 1(t+1) = 0 \Leftrightarrow 3t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}$ .
Suy ra $\displaystyle M\left(\frac{4}{3}; \frac{1}{3}; -\frac{2}{3}\right)$ .
$\displaystyle T = x_M - y_M + 3z_M = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} + 3\left(-\frac{2}{3}\right) = 1 - 2 = -1$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi