Đăng nhập Đăng ký

ID: 19743

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ trục tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho các điểm $\displaystyle A(3; 0; 0)$ , $\displaystyle B(0; 3; 0)$ , $\displaystyle C(0; 0; -3)$ , $\displaystyle K(0; 1; -1)$ và đường thẳng $\displaystyle d: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = -1 \end{cases}$ . Xét điểm $\displaystyle M$ thuộc đường thẳng $\displaystyle d$ và thỏa mãn điều kiện $\displaystyle \vert{}\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\vert{} = 3$ . Khi đoạn thẳng $\displaystyle MK$ có độ dài lớn nhất, hoành độ của điểm $\displaystyle M$ là: (làm tròn đến hàng phần chục)

`1`
Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle G$ là trọng tâm của tam giác $\displaystyle ABC$ :
$\displaystyle G = \left(\frac{3+0+0}{3}; \frac{0+3+0}{3}; \frac{0+0-3}{3}\right) = (1; 1; -1)$
Ta có:
$\displaystyle \vert{}\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}\vert{} = \vert{}3\vec{MG}\vert{} = 3 \implies MG = 1$
Do đó, tập hợp các điểm $\displaystyle M$ thỏa mãn điều kiện là mặt cầu $\displaystyle (S)$ tâm $\displaystyle G(1; 1; -1)$ , bán kính $\displaystyle R = 1$ .
Theo đề bài, điểm $\displaystyle K$ có tọa độ $\displaystyle K(0; 1; -1)$ .
Nhận xét rằng tâm $\displaystyle G(1; 1; -1)$ thuộc đường thẳng $\displaystyle d:\begin{cases} x = 1+t \\ y = 1+t \\ z = -1 \end{cases}$ (ứng với $\displaystyle t = 0$ ).
Vì $\displaystyle M \in d$ và $\displaystyle M \in (S)$ , nên điểm $\displaystyle M$ chính là giao điểm của đường thẳng $\displaystyle d$ và mặt cầu $\displaystyle (S)$ .
Thay phương trình tham số của $\displaystyle d$ vào $\displaystyle MG = 1$ :
$\displaystyle MG^2 = (1+t - 1)^2 + (1+t - 1)^2 + (-1 - (-1))^2 = 1$
$\displaystyle \iff t^2 + t^2 + 0 = 1 \iff 2t^2 = 1 \iff t = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
Suy ra có 2 điểm $\displaystyle M$ thỏa mãn:
$\displaystyle M_1\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}; 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}; -1\right)$
$\displaystyle M_2\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}; 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}; -1\right)$
Tính $\displaystyle MK^2 = x_M^2 + (y_M - 1)^2 + (z_M + 1)^2 = x_M^2 + (y_M - 1)^2$ :
Với $\displaystyle M_1$ : $\displaystyle MK^2 = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 + \sqrt{2}$
Với $\displaystyle M_2$ : $\displaystyle MK^2 = \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 - \sqrt{2}$
Để độ dài đoạn thẳng $\displaystyle MK$ đạt giá trị lớn nhất, ta chọn $\displaystyle M_1$ .
Khi đó, hoành độ của điểm $\displaystyle M$ là:
$\displaystyle x_M = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} = 1,7$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi