Đăng nhập Đăng ký

ID: 19744

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho đường thẳng $\displaystyle d: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ và 2 điểm $\displaystyle A(1; 1; -2); B(-1; 0; 2)$ . Tìm hoành độ điểm $\displaystyle M$ thuộc phương trình đường thẳng $\displaystyle \Delta$ đi qua $\displaystyle A$ , vuông góc với $\displaystyle d$ sao cho khoảng cách từ $\displaystyle B$ đến $\displaystyle M$ là nhỏ nhất.

Giải thích đáp án:
Đường thẳng $\displaystyle \Delta$ đi qua $\displaystyle A$ và vuông góc với $\displaystyle d$ , do đó $\displaystyle \Delta$ nằm trong mặt phẳng $\displaystyle (P)$ đi qua $\displaystyle A(1; 1; -2)$ và nhận VTCP của $\displaystyle d$ là $\displaystyle \vec{u}_d = (1; 2; -1)$ làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng $\displaystyle (P)$ :
$\displaystyle 1(x-1) + 2(y-1) - 1(z+2) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - z - 5 = 0$ .
Điểm $\displaystyle M$ thuộc đường thẳng $\displaystyle \Delta$ (mà $\displaystyle \Delta \subset (P)$ ). Do đó khoảng cách từ $\displaystyle B$ đến $\displaystyle M$ (đoạn $\displaystyle BM$ ) luôn lớn hơn hoặc bằng khoảng cách từ $\displaystyle B$ đến mặt phẳng $\displaystyle (P)$ .
$\displaystyle BM$ đạt giá trị nhỏ nhất $\displaystyle \Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $\displaystyle B(-1; 0; 2)$ lên mặt phẳng $\displaystyle (P)$ .
Đường thẳng đi qua $\displaystyle B$ và vuông góc với $\displaystyle (P)$ có phương trình tham số: $\displaystyle \begin{cases} x = -1 + t \\ y = 2t \\ z = 2 - t \end{cases}$ .
Thay tọa độ này vào phương trình $\displaystyle (P)$ để tìm hình chiếu $\displaystyle M$ :
$\displaystyle (-1 + t) + 2(2t) - (2 - t) - 5 = 0 \Leftrightarrow 6t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4}{3}$ .
Hoành độ của điểm $\displaystyle M$ là $\displaystyle x_M = -1 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi