Đăng nhập Đăng ký

ID: 19745

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho điểm $\displaystyle A(1; 2; -3)$ và mặt phẳng $\displaystyle (P): 2x + 2y - z + 9 = 0$ . Đường thẳng $\displaystyle \Delta$ đi qua $\displaystyle A$ và có vectơ chỉ phương $\displaystyle \vec{u} = (3; 4; -4)$ cắt $\displaystyle (P)$ tại $\displaystyle B$ . Điểm $\displaystyle M$ thuộc mặt phẳng $\displaystyle (P)$ và thuộc đường thẳng d sao cho $\displaystyle M$ luôn nhìn đoạn $\displaystyle AB$ dưới một góc $\displaystyle 90^\circ$ . Tìm tung độ điểm $\displaystyle M$ khi độ dài $\displaystyle MB$ lớn nhất.

Giải thích đáp án:
Đường thẳng $\displaystyle \Delta$ đi qua $\displaystyle A(1; 2; -3)$ với VTCP $\displaystyle \vec{u}=(3; 4; -4)$ có PT: $\displaystyle \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = -3 - 4t \end{cases}$ .
Giao điểm $\displaystyle B = \Delta \cap (P)$ . Thay vào PT mặt phẳng $\displaystyle (P)$ :
$\displaystyle 2(1+3t) + 2(2+4t) - (-3-4t) + 9 = 0 \Leftrightarrow 18t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = -1$ .
Suy ra $\displaystyle B(-2; -2; 1)$ .
$\displaystyle M$ thuộc $\displaystyle (P)$ và nhìn đoạn $\displaystyle AB$ dưới một góc $\displaystyle 90^\circ$ ( $\displaystyle AM \perp MB$ ).
Gọi $\displaystyle H$ là hình chiếu vuông góc của $\displaystyle A$ lên mặt phẳng $\displaystyle (P)$ . Ta có $\displaystyle AH \perp (P) \Rightarrow AH \perp MB$ .
Vì $\displaystyle MB \perp AM$ và $\displaystyle MB \perp AH$ , suy ra $\displaystyle MB \perp (AMH) \Rightarrow MB \perp MH$ .
Tập hợp các điểm $\displaystyle M$ nằm trong mặt phẳng $\displaystyle (P)$ và nhìn đoạn cố định $\displaystyle HB$ dưới góc vuông chính là đường tròn $\displaystyle (C)$ đường kính $\displaystyle HB$ nằm trong mặt phẳng $\displaystyle (P)$ .
Đoạn $\displaystyle MB$ (dây cung của đường tròn) đạt độ dài lớn nhất khi nó chính là đường kính của đường tròn $\displaystyle (C)$ , điều này xảy ra khi $\displaystyle M \equiv H$ .
Đường thẳng qua $\displaystyle A(1; 2; -3)$ vuông góc với $\displaystyle (P): 2x+2y-z+9=0$ có PT: $\displaystyle \begin{cases} x = 1 + 2k \\ y = 2 + 2k \\ z = -3 - k \end{cases}$ .
Thay vào $\displaystyle (P)$ : $\displaystyle 2(1+2k) + 2(2+2k) - (-3-k) + 9 = 0 \Leftrightarrow 9k + 18 = 0 \Leftrightarrow k = -2$ .
Suy ra $\displaystyle M(-3; -2; -1)$ .
Tung độ của điểm $\displaystyle M$ là $\displaystyle y_M = -2$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi