Đăng nhập Đăng ký

ID: 19746

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho đường thẳng $\displaystyle d: \frac{x-3}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{1}$ và hai điểm $\displaystyle A(-1; 2; 0)$ , $\displaystyle B(2; 5; 0)$ . Gọi $\displaystyle K(a; b; c)$ là điểm thuộc đường thẳng $\displaystyle d$ sao cho biểu thức $\displaystyle P = KA + 2KB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị $\displaystyle a - b + c$ bằng bao nhiêu?

Giải thích đáp án:
Điểm $\displaystyle K \in d \Rightarrow K(3+t; 2+t; t)$ .
Tính độ dài $\displaystyle KA$ và $\displaystyle KB$ :
$\displaystyle KA = \sqrt{(3+t - (-1))^2 + (2+t - 2)^2 + (t - 0)^2} = \sqrt{(t+4)^2 + 2t^2} = \sqrt{3t^2 + 8t + 16}$ .
$\displaystyle KB = \sqrt{(3+t - 2)^2 + (2+t - 5)^2 + (t - 0)^2} = \sqrt{(t+1)^2 + (t-3)^2 + t^2} = \sqrt{3t^2 - 4t + 10}$ .
Biểu thức cần tìm min: $\displaystyle f(t) = \sqrt{3t^2 + 8t + 16} + 2\sqrt{3t^2 - 4t + 10}$ .
$\displaystyle f'(t) = \frac{3t+4}{\sqrt{3t^2+8t+16}} + \frac{2(3t-2)}{\sqrt{3t^2-4t+10}} = 0 \Leftrightarrow \frac{3t+4}{\sqrt{3t^2+8t+16}} = \frac{4-6t}{\sqrt{3t^2-4t+10}}$ .
Bình phương hai vế và rút gọn chéo, ta nhận được phương trình bậc 4:
$\displaystyle 27t^4 + 36t^3 + 66t^2 - 272t + 32 = 0$ .
Giải phương trình này kết hợp với điều kiện dấu $\displaystyle (3t+4)(4-6t) > 0$ , ta thu được nghiệm tối ưu là $\displaystyle t = \frac{28-8\sqrt{13}}{3}$ .
Với $\displaystyle K(3+t; 2+t; t) \Rightarrow a=3+t, b=2+t, c=t$ .
Biểu thức $\displaystyle a - b + c = (3+t) - (2+t) + t = t + 1$ .
Thay $\displaystyle t$ : $\displaystyle a - b + c = \frac{28-8\sqrt{13}}{3} + 1 = \frac{31-8\sqrt{13}}{3}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi