Đăng nhập Đăng ký

ID: 19747

Nhận biết (M1)
Trong không gian tọa độ $\displaystyle Oxyz$ cho các điểm $\displaystyle A(1; 5; 0), B(3; 3; 6)$ và đường thẳng $\displaystyle \Delta: \frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z}{2}$ . Gọi $\displaystyle M(a; b; c) \in \Delta$ sao cho chu vi tam giác $\displaystyle MAB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $\displaystyle T = a + b + c$ .

`1`
Giải thích đáp án:
$\displaystyle M \in \Delta \Rightarrow M(-1+2t; 1-t; 2t)$ . Chu vi $\displaystyle \triangle MAB$ nhỏ nhất khi tổng $\displaystyle MA + MB$ nhỏ nhất (do $\displaystyle AB$ không đổi).
$\displaystyle MA = \sqrt{(2t-2)^2 + (-t-4)^2 + 4t^2} = \sqrt{9t^2 + 20} = \sqrt{(3t)^2 + (\sqrt{20})^2}$ .
$\displaystyle MB = \sqrt{(2t-4)^2 + (-t-2)^2 + (2t-6)^2} = \sqrt{9t^2 - 36t + 56} = \sqrt{(6-3t)^2 + (\sqrt{20})^2}$ .
Áp dụng $\displaystyle \sqrt{x_1^2 + y_1^2} + \sqrt{x_2^2 + y_2^2} \ge \sqrt{(x_1+x_2)^2 + (y_1+y_2)^2}$ :
$\displaystyle MA + MB \ge \sqrt{(3t + 6 - 3t)^2 + (\sqrt{20} + \sqrt{20})^2} = \sqrt{36 + 80} = \sqrt{116}$ .
Dấu "=" xảy ra khi hai vectơ cùng hướng:
$\displaystyle \frac{3t}{6-3t} = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{20}} = 1 \Leftrightarrow 3t = 6-3t \Leftrightarrow 6t = 6 \Leftrightarrow t = 1$ .
Thay $\displaystyle t = 1 \Rightarrow M(1; 0; 2)$ .
Khi đó $\displaystyle T = a + b + c = 1 + 0 + 2 = 3$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi