Đăng nhập Đăng ký

ID: 19749

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho các điểm $\displaystyle A(6; 0; 6), B(8; -4; -2), C(0; 0; 6), D(1; 1; 5)$ . Gọi $\displaystyle M(a, b, c)$ thuộc đường thẳng $\displaystyle CD$ sao cho diện tích tam giác $\displaystyle MAB$ nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $\displaystyle T = a - b + 3c$ .

`1`
Giải thích đáp án:
Đường thẳng $\displaystyle CD$ qua $\displaystyle C(0;0;6)$ nhận $\displaystyle \vec{CD} = (1; 1; -1)$ làm VTCP. Điểm $\displaystyle M \in CD \Rightarrow M(t; t; 6-t)$ .
Vectơ $\displaystyle \vec{AB} = (2; -4; -8)$ . Để đơn giản khi tính tích có hướng, ta dùng vectơ $\displaystyle \vec{u} = (1; -2; -4)$ cùng phương với $\displaystyle \vec{AB}$ (với $\displaystyle \vec{AB} = 2\vec{u}$ ).
Vectơ $\displaystyle \vec{AM} = (t-6; t; -t)$ .
Tích có hướng $\displaystyle [\vec{AM}, \vec{u}] = \left( t(-4) - (-t)(-2); (-t)(1) - (t-6)(-4); (t-6)(-2) - t(1) \right) = (-6t; 3t - 24; -3t + 12) = -3(2t; 8-t; t-4)$ .
Diện tích tam giác $\displaystyle MAB$ là $\displaystyle S = \frac{1}{2}\vert{}[\vec{AM}, \vec{AB}]\vert{} = \vert{}[\vec{AM}, \vec{u}]\vert{}$ .
$\displaystyle S = \sqrt{(-6t)^2 + (3t-24)^2 + (-3t+12)^2} = 3\sqrt{(2t)^2 + (8-t)^2 + (t-4)^2} = 3\sqrt{6t^2 - 24t + 80} = 3\sqrt{6(t-2)^2 + 56}$ .
Diện tích $\displaystyle S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\displaystyle (t-2)^2 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ .
Thay $\displaystyle t = 2 \Rightarrow M(2; 2; 4)$ .
Tính biểu thức $\displaystyle T = a - b + 3c = 2 - 2 + 3(4) = 12$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi