Đăng nhập Đăng ký

ID: 19750

Nhận biết (M1)
Trong không gian tọa độ $\displaystyle Oxyz$ cho 2 điểm $\displaystyle A(-1; 3; -2), B(1; 1; 4)$ và đường thẳng $\displaystyle d$ có phương trình:
$\displaystyle \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z}{2}$
Gọi $\displaystyle M$ là điểm thuộc $\displaystyle d$ sao cho chu vi tam giác $\displaystyle MAB$ nhỏ nhất. Khi đó độ dài $\displaystyle OM$ là:

Giải thích đáp án:
$\displaystyle M \in d \Rightarrow M(-1+2t; -2-t; 2t)$ . Chu vi tam giác $\displaystyle MAB$ nhỏ nhất khi tổng $\displaystyle MA + MB$ đạt nhỏ nhất.
$\displaystyle MA = \sqrt{(2t)^2 + (-t-5)^2 + (2t+2)^2} = \sqrt{9t^2 + 18t + 29} = \sqrt{(3t+3)^2 + (\sqrt{20})^2}$ .
$\displaystyle MB = \sqrt{(2t-2)^2 + (-t-3)^2 + (2t-4)^2} = \sqrt{9t^2 - 18t + 29} = \sqrt{(3-3t)^2 + (\sqrt{20})^2}$ .
$\displaystyle MA + MB \ge \sqrt{(3t+3 + 3-3t)^2 + (\sqrt{20} + \sqrt{20})^2} = \sqrt{36 + 80} = \sqrt{116}$ .
Dấu "=" xảy ra khi tỷ lệ các thành phần tương ứng bằng nhau:
$\displaystyle \frac{3t+3}{3-3t} = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{20}} = 1 \Leftrightarrow 3t+3 = 3-3t \Leftrightarrow 6t = 0 \Leftrightarrow t = 0$ .
Thay $\displaystyle t = 0 \Rightarrow M(-1; -2; 0)$ .
Độ dài $\displaystyle OM = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{5}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi