Đăng nhập Đăng ký

ID: 19982

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ trục tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho mặt phẳng $\displaystyle (P): x + y + z - 6 = 0$ và hai điểm $\displaystyle A(1; 1; 2)$ , $\displaystyle B(2; 3; 1)$ . Gọi $\displaystyle (Q)$ là mặt phẳng đi qua $\displaystyle A, B$ đồng thời tạo với $\displaystyle (P)$ một góc nhỏ nhất. Biết rằng phương trình tổng quát của mặt phẳng $\displaystyle (Q)$ là $\displaystyle x + by + cz + d = 0$ . Khi đó giá trị của tổng $\displaystyle S = b + c + d$ bằng

`1`
Giải thích đáp án:
Mặt phẳng $\displaystyle (P)$ có VTPT $\displaystyle \vec{n}_P = (1; 1; 1)$ .
VTCP của đường thẳng $\displaystyle AB$ là $\displaystyle \vec{u} = \vec{AB} = (1; 2; -1)$ .
Mặt phẳng $\displaystyle (Q)$ chứa $\displaystyle A, B$ (chứa $\displaystyle AB$ ) tạo với $\displaystyle (P)$ góc nhỏ nhất nhận VTPT:
$\displaystyle \vec{n}_Q = \vec{u} \times (\vec{n}_P \times \vec{u})$ .
$\displaystyle \vec{n}_P \times \vec{u} = (1; 1; 1) \times (1; 2; -1) = (-3; 2; 1)$ .
$\displaystyle \vec{n}_Q = (1; 2; -1) \times (-3; 2; 1) = (4; 2; 8) \sim (2; 1; 4)$ .
Phương trình $\displaystyle (Q)$ có dạng $\displaystyle x + by + cz + d = 0$ (hệ số $\displaystyle x$ là $\displaystyle 1$ ).
Chia vectơ $\displaystyle (2; 1; 4)$ cho $\displaystyle 2$ : $\displaystyle \vec{n}_Q' = (1; 0,5; 2)$ .
$\displaystyle \Rightarrow b = 0,5$ và $\displaystyle c = 2$ .
$\displaystyle (Q)$ đi qua $\displaystyle A(1; 1; 2)$ :
$\displaystyle 1(1) + 0,5(1) + 2(2) + d = 0 \Leftrightarrow 5,5 + d = 0 \Leftrightarrow d = -5,5$ .
$\displaystyle S = b + c + d = 0,5 + 2 - 5,5 = -3$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi