Đăng nhập Đăng ký

ID: 19984

Nhận biết (M1)
Trong không gian tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho đường thẳng $\displaystyle \Delta: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{-1}$ và mặt phẳng $\displaystyle (P): 2x - y + 2z - 3 = 0$ . Gọi $\displaystyle (Q)$ là mặt phẳng chứa $\displaystyle \Delta$ sao cho góc giữa $\displaystyle (P)$ và $\displaystyle (Q)$ nhỏ nhất. Biết mặt phẳng $\displaystyle (Q)$ có một vectơ pháp tuyến là $\displaystyle \vec{n}(a; b; 4)$ . Tính giá trị của biểu thức $\displaystyle T = a + b$ .

Giải thích đáp án:
Đường thẳng $\displaystyle \Delta$ có VTCP $\displaystyle \vec{u} = (2; 1; -1)$ .
Mặt phẳng $\displaystyle (P)$ có VTPT $\displaystyle \vec{n}_P = (2; -1; 2)$ .
Mặt phẳng $\displaystyle (Q)$ chứa $\displaystyle \Delta$ tạo với $\displaystyle (P)$ góc nhỏ nhất nhận VTPT:
$\displaystyle \vec{n}_Q = \vec{u} \times (\vec{n}_P \times \vec{u})$ .
$\displaystyle \vec{n}_P \times \vec{u} = (2; -1; 2) \times (2; 1; -1) = (-1; 6; 4)$ .
$\displaystyle \vec{n}_Q = (2; 1; -1) \times (-1; 6; 4) = (10; -7; 13)$ .
Giả thiết cho biết $\displaystyle \vec{n}_Q$ có dạng $\displaystyle \vec{n}(a; b; 1)$ (hệ số $\displaystyle z$ bằng $\displaystyle 1$ ).
Chia vectơ $\displaystyle (10; -7; 13)$ cho $\displaystyle 13$ : $\displaystyle \vec{n}_Q' = (\frac{10}{13}; -\frac{7}{13}; 1)$ .
$\displaystyle \Rightarrow a = \frac{10}{13}$ và $\displaystyle b = -\frac{7}{13}$ .
$\displaystyle T = a + b = \frac{10}{13} + (-\frac{7}{13}) = \frac{3}{13}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi