Đăng nhập Đăng ký

ID: 19986

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho đường thẳng $\displaystyle d: \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-2}{-2}$ và mặt phẳng $\displaystyle (P): x + 2y + 2z - 1 = 0$ . Đường thẳng $\displaystyle \Delta$ đi qua $\displaystyle E(1; 2; -1)$ , song song với $\displaystyle (P)$ đồng thời tạo với $\displaystyle d$ góc bé nhất. Biết rằng $\displaystyle \Delta$ có một vectơ chỉ phương $\displaystyle \vec{u} = (m; n; 1)$ . Tính $\displaystyle T = m^2 - n^2$ bằng

`1`
Giải thích đáp án:
Đường thẳng $\displaystyle d$ có VTCP $\displaystyle \vec{u}_d = (1; 2; -2)$ . Mặt phẳng $\displaystyle (P)$ có VTPT $\displaystyle \vec{n}_P = (1; 2; 2)$ .
Đường thẳng $\displaystyle \Delta$ song song với $\displaystyle (P)$ nên $\displaystyle \vec{u}_\Delta \perp \vec{n}_P$ .
$\displaystyle \Delta$ tạo với $\displaystyle d$ góc bé nhất khi $\displaystyle \vec{u}_\Delta$ cùng phương với hình chiếu vuông góc của $\displaystyle \vec{u}_d$ lên mặt phẳng có VTPT $\displaystyle \vec{n}_P$ .
$\displaystyle \vec{u}_\Delta = \vec{n}_P \times (\vec{u}_d \times \vec{n}_P)$ .
$\displaystyle \vec{u}_d \times \vec{n}_P = (1; 2; -2) \times (1; 2; 2) = (8; -4; 0)$ .
$\displaystyle \vec{u}_\Delta = (1; 2; 2) \times (8; -4; 0) = (8; 16; -20)$ .
Rút gọn vectơ bằng cách chia cho $\displaystyle -20$ để hoành độ $\displaystyle z=1$ : $\displaystyle \vec{u}_\Delta' = \left(-\frac{2}{5}; -\frac{4}{5}; 1\right)$ .
Ta có $\displaystyle m = -\frac{2}{5}$ , $\displaystyle n = -\frac{4}{5}$ . Do đó $\displaystyle T = m^2 - n^2 = \frac{4}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{12}{25}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi