Đăng nhập Đăng ký

ID: 19995

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho mặt cầu $\displaystyle (S): (x-1)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 4$ và điểm $\displaystyle M(2; 3; 1)$ . Từ $\displaystyle M$ kẻ vô số các tiếp tuyến tới $\displaystyle (S)$ , tập hợp các tiếp điểm là đường tròn $\displaystyle (C)$ . Gọi $\displaystyle N(a; b; c)$ là một điểm di động trên đường tròn $\displaystyle (C)$ . Khoảng cách lớn nhất từ điểm $\displaystyle N$ đến gốc tọa độ $\displaystyle O$ bằng

Giải thích đáp án:
Mặt cầu $\displaystyle (S)$ có tâm $\displaystyle I(1; 1; 0)$ , bán kính $\displaystyle R=2$ . Điểm $\displaystyle M(2; 3; 1)$ có $\displaystyle IM = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6} > R \Rightarrow M$ nằm ngoài $\displaystyle (S)$ .
Gọi $\displaystyle H$ là tâm đường tròn $\displaystyle (C)$ . Ta có $\displaystyle IH = \frac{R^2}{IM} = \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ .
Bán kính đường tròn $\displaystyle (C)$ là $\displaystyle r = \sqrt{R^2 - IH^2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ .
Tọa độ tâm $\displaystyle H$ : Từ $\displaystyle \overrightarrow{IH} = \frac{IH}{IM}\overrightarrow{IM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{IM}$ , suy ra $\displaystyle H\left(\frac{5}{3}; \frac{7}{3}; \frac{2}{3}\right)$ .
Khoảng cách $\displaystyle OH = \frac{\sqrt{78}}{3}$ .
Mặt phẳng $\displaystyle (P)$ chứa $\displaystyle (C)$ có vectơ pháp tuyến $\displaystyle \overrightarrow{IM}=(1; 2; 1) \Rightarrow (P): x+2y+z-7=0$ .
Hình chiếu $\displaystyle O'$ của $\displaystyle O$ lên $\displaystyle (P)$ thỏa mãn $\displaystyle O'H = \sqrt{OH^2 - d^2(O,(P))} = \sqrt{\frac{78}{9} - \frac{49}{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Khoảng cách lớn nhất từ $\displaystyle O$ đến $\displaystyle N \in (C)$ là:
$\displaystyle ON_{\max} = \sqrt{d^2(O,(P)) + (O'H + r)^2}$
$\displaystyle ON_{\max}^2 = \frac{49}{6} + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{30+2\sqrt{6}}{3} \Rightarrow ON_{\max} = \sqrt{\frac{30+2\sqrt{6}}{3}}$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi