Đăng nhập Đăng ký

ID: 19996

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho mặt cầu $\displaystyle (S): (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 1$ và điểm $\displaystyle A(2; 2; 2)$ . Gọi $\displaystyle (C)$ là đường tròn tập hợp tất cả các tiếp điểm khi kẻ tiếp tuyến từ $\displaystyle A$ đến $\displaystyle (S)$ . Xét điểm $\displaystyle P(a; b; c)$ thuộc đường tròn $\displaystyle (C)$ và điểm $\displaystyle Q$ thuộc trục $\displaystyle Oz$ . Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $\displaystyle PQ$ bằng

Giải thích đáp án:
Mặt cầu $\displaystyle (S)$ có tâm $\displaystyle I(1; 1; 1)$ , $\displaystyle R=1$ . Khoảng cách $\displaystyle IA = \sqrt{3}$ .
Tâm $\displaystyle H$ của $\displaystyle (C)$ thỏa mãn $\displaystyle \overrightarrow{IH} = \frac{R^2}{IA^2}\overrightarrow{IA} = \frac{1}{3}\overrightarrow{IA} \Rightarrow H\left(\frac{4}{3}; \frac{4}{3}; \frac{4}{3}\right)$ .
Bán kính $\displaystyle (C)$ là $\displaystyle r = \sqrt{R^2 - IH^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .
Mặt phẳng $\displaystyle (P)$ chứa $\displaystyle (C)$ đi qua $\displaystyle H$ và nhận $\displaystyle \overrightarrow{IA}$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình: $\displaystyle x+y+z-4=0$ .
$\displaystyle Q \in Oz \Rightarrow Q(0; 0; q)$ . Gọi $\displaystyle Q'$ là hình chiếu của $\displaystyle Q$ lên $\displaystyle (P)$ .
Bình phương khoảng cách $\displaystyle PQ$ :
$\displaystyle PQ^2 = QQ'^2 + (HQ'-r)^2 = \frac{(q-4)^2}{3} + \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\vert{}q\vert{} - \frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2$
Khảo sát hàm số trên với $\displaystyle q \ge 0$ , ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $\displaystyle q=2$ , khi đó $\displaystyle PQ^2 = 2$ .
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\displaystyle PQ$ là $\displaystyle \sqrt{2}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi