Đăng nhập Đăng ký

ID: 19998

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho mặt cầu $\displaystyle (S): (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-1)^2 = 4$ và điểm $\displaystyle A(4; 3; 3)$ . Gọi $\displaystyle (C)$ là đường tròn chứa tất cả các tiếp điểm khi kẻ tiếp tuyến từ $\displaystyle A$ đến $\displaystyle (S)$ . Gọi $\displaystyle M_1, M_2$ là hai điểm phân biệt di động trên $\displaystyle (C)$ sao cho $\displaystyle \overrightarrow{IM_1} \cdot \overrightarrow{IM_2} = 2$ (với $\displaystyle I$ là tâm của mặt cầu $\displaystyle (S)$ ). Tính diện tích tam giác $\displaystyle IM_1M_2$ .

Giải thích đáp án:
Mặt cầu $\displaystyle (S)$ có tâm $\displaystyle I(2; -1; 1)$ , bán kính $\displaystyle R=2$ .
Vì $\displaystyle M_1, M_2 \in (C) \subset (S)$ nên $\displaystyle IM_1 = IM_2 = R = 2$ .
Khai triển tích vô hướng:
$\displaystyle \overrightarrow{IM_1} \cdot \overrightarrow{IM_2} = 2 \Leftrightarrow IM_1 \cdot IM_2 \cdot \cos(\widehat{M_1IM_2}) = 2$
$\displaystyle \Leftrightarrow 2 \cdot 2 \cdot \cos(\widehat{M_1IM_2}) = 2 \Rightarrow \cos(\widehat{M_1IM_2}) = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{M_1IM_2} = 60^\circ$
Diện tích tam giác $\displaystyle IM_1M_2$ là:
$\displaystyle S = \frac{1}{2} \cdot IM_1 \cdot IM_2 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi