Đăng nhập Đăng ký

ID: 20000

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho điểm $\displaystyle A(-1; 2; 1)$ và mặt phẳng $\displaystyle (P): x - 2y - z + 6 = 0$ . Biết rằng tập hợp các điểm $\displaystyle M$ di động trên $\displaystyle (P)$ sao cho $\displaystyle MO + MA = 6$ là một đường tròn $\displaystyle (\omega)$ . Tính bán kính của đường tròn $\displaystyle (\omega)$ bằng

`1`
Giải thích đáp án:
Phương trình $\displaystyle MO + MA = 6$ chứng tỏ $\displaystyle M$ thuộc một mặt ellipsoid tròn xoay có hai tiêu điểm là $\displaystyle O(0; 0; 0)$ và $\displaystyle A(-1; 2; 1)$ .
Trục lớn $\displaystyle 2a = 6 \Rightarrow a = 3$ . Tiêu cự $\displaystyle 2c = OA = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} \Rightarrow c = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .
Bán trục nhỏ $\displaystyle b = \sqrt{a^2 - c^2} = \frac{\sqrt{30}}{2}$ .
Tâm của ellipsoid là trung điểm $\displaystyle I\left(-\frac{1}{2}; 1; \frac{1}{2}\right)$ của đoạn $\displaystyle OA$ .
Kiểm tra tính vuông góc: Vectơ $\displaystyle \overrightarrow{OA} = (-1; 2; 1)$ cùng phương với vectơ pháp tuyến của $\displaystyle (P)$ là $\displaystyle (1; -2; -1) \Rightarrow (P) \perp OA$ .
Khoảng cách từ tâm $\displaystyle I$ đến mặt phẳng $\displaystyle (P)$ là:
$\displaystyle d = d(I, (P)) = \frac{\vert{}-\frac{1}{2} - 2(1) - \frac{1}{2} + 6\vert{}}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} = c$
Mặt phẳng $\displaystyle (P)$ vuông góc với trục lớn và đi qua đúng tiêu điểm $\displaystyle A$ . Bán kính $\displaystyle r$ của đường tròn giao tuyến $\displaystyle (w)$ thỏa mãn phương trình:
$\displaystyle \frac{r^2}{b^2} + \frac{c^2}{a^2} = 1 \Rightarrow r = b\sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{30}}{2}\sqrt{1 - \frac{6/4}{9}} = 2.5$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi