Đăng nhập Đăng ký

ID: 20001

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ trục tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho hai điểm $\displaystyle A(1; 1; 1)$ , $\displaystyle B(2; 2; 1)$ và mặt phẳng $\displaystyle (P): x + y + 2z = 0$ . Gọi $\displaystyle K$ là giao điểm của đường thẳng $\displaystyle AB$ và mặt phẳng $\displaystyle (P)$ . Xét các mặt cầu $\displaystyle (S)$ thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm $\displaystyle A, B$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\displaystyle (P)$ tại điểm $\displaystyle H$ . Biết rằng điểm $\displaystyle H$ luôn di chuyển trên một đường tròn cố định nằm trong mặt phẳng $\displaystyle (P)$ . Tìm bán kính của đường tròn đó bằng . (làm tròn đến hàng phần chục)

`1`
Giải thích đáp án:
Đường thẳng $\displaystyle AB$ đi qua $\displaystyle A(1; 1; 1)$ và có véctơ chỉ phương $\displaystyle \vec{AB} = (1; 1; 0)$ .
Phương trình tham số của $\displaystyle AB$ là: $\displaystyle \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 1 \end{cases}$
Thay tọa độ này vào phương trình mặt phẳng $\displaystyle (P): x + y + 2z = 0$ , ta có:
$\displaystyle (1 + t) + (1 + t) + 2(1) = 0$
$\displaystyle 2t + 4 = 0 \Rightarrow t = -2$
Suy ra tọa độ điểm $\displaystyle K(-1; -1; 1)$ .
Mặt cầu $\displaystyle (S)$ đi qua hai điểm $\displaystyle A, B$ (nằm trên đường thẳng qua $\displaystyle K$ ) và tiếp xúc với $\displaystyle (P)$ tại $\displaystyle H$ .
Vì $\displaystyle H \in (P)$ và $\displaystyle K \in (P)$ nên đường thẳng $\displaystyle KH$ nằm hoàn toàn trong $\displaystyle (P)$ . Do $\displaystyle (P)$ tiếp xúc với mặt cầu $\displaystyle (S)$ tại $\displaystyle H$ , suy ra đoạn thẳng $\displaystyle KH$ chính là một tiếp tuyến của mặt cầu $\displaystyle (S)$ .
Theo định lý phương tích của điểm $\displaystyle K$ nằm ngoài mặt cầu, ta luôn có:
$\displaystyle KH^2 = KA \cdot KB$
Tính khoảng cách $\displaystyle KA$ :
$\displaystyle KA = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$
Tính khoảng cách $\displaystyle KB$ (với $\displaystyle B(2; 2; 1)$ ):
$\displaystyle KB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$
Tính độ dài $\displaystyle KH$ :
$\displaystyle KH^2 = (2\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2}) = 12 \Rightarrow KH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
Điểm $\displaystyle K$ cố định, $\displaystyle H$ luôn nằm trên mặt phẳng $\displaystyle (P)$ và cách $\displaystyle K$ một khoảng không đổi $\displaystyle KH = 2\sqrt{3}$ .
Vậy tập hợp các điểm $\displaystyle H$ là đường tròn tâm $\displaystyle K$ nằm trong $\displaystyle (P)$ , có bán kính $\displaystyle 2\sqrt{3}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi