Đăng nhập Đăng ký

ID: 20002

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho đường thẳng $\displaystyle d: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-1}{-1}$ và mặt phẳng $\displaystyle (P): x + 2y + 2z - 12 = 0$ . Trên đường thẳng $\displaystyle d$ lấy hai điểm cố định $\displaystyle A, B$ sao cho $\displaystyle A(1; 2; 1)$ và $\displaystyle AB = 3\sqrt{6}$ . Gọi $\displaystyle (S)$ là mặt cầu thay đổi đi qua $\displaystyle A, B$ và tiếp xúc với $\displaystyle (P)$ tại $\displaystyle H$ . Gọi $\displaystyle K$ là giao điểm của $\displaystyle d$ và $\displaystyle (P)$ và $\displaystyle K$ nằm giữa $\displaystyle A$ và $\displaystyle B$ . Tính khoảng cách từ $\displaystyle K$ đến điểm $\displaystyle H$ bằng . ( làm tròn đến hàng phần trăm)

`1`
Giải thích đáp án:
Đường thẳng $\displaystyle d: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-1}{-1}$ có phương trình tham số: $\displaystyle \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 1 - t \end{cases}$
Thay tọa độ này vào phương trình mặt phẳng $\displaystyle (P): x + 2y + 2z - 12 = 0$ , ta được:
$\displaystyle (1 + t) + 2(2 + 2t) + 2(1 - t) - 12 = 0$
$\displaystyle 1 + t + 4 + 4t + 2 - 2t - 12 = 0 \Rightarrow 3t - 5 = 0 \Rightarrow t = \frac{5}{3}$
Tọa độ điểm $\displaystyle K$ tương ứng với $\displaystyle t = \frac{5}{3}$ là $\displaystyle K(\frac{8}{3}; \frac{16}{3}; -\frac{2}{3})$ . Điểm $\displaystyle A(1; 2; 1)$ tương ứng với $\displaystyle t = 0$ .
Khoảng cách $\displaystyle KA$ :
$\displaystyle KA = \sqrt{\left(\frac{8}{3} - 1\right)^2 + \left(\frac{16}{3} - 2\right)^2 + \left(-\frac{2}{3} - 1\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{9} + \frac{100}{9} + \frac{25}{9}} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$
Vì $\displaystyle K$ nằm giữa $\displaystyle A$ và $\displaystyle B$ nên $\displaystyle KA + KB = AB$ . Suy ra:
$\displaystyle KB = AB - KA = 3\sqrt{6} - \frac{5\sqrt{6}}{3} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$
Mặt cầu $\displaystyle (S)$ đi qua $\displaystyle A, B$ và tiếp xúc với $\displaystyle (P)$ tại $\displaystyle H$ . Đường thẳng $\displaystyle d$ cắt mặt cầu tại $\displaystyle A, B$ và cắt mặt phẳng tiếp diện $\displaystyle (P)$ tại $\displaystyle K$ . Do đó, đoạn thẳng $\displaystyle KH$ là một tiếp tuyến của mặt cầu. Áp dụng định lý phương tích:
$\displaystyle KH^2 = KA \cdot KB = \left(\frac{5\sqrt{6}}{3}\right) \cdot \left(\frac{4\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{120}{9} = \frac{40}{3}$
Vậy $\displaystyle KH = \sqrt{\frac{40}{3}} = \frac{2\sqrt{30}}{3}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi