Đăng nhập Đăng ký

ID: 20004

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho mặt cầu $\displaystyle (S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0$ và điểm $\displaystyle M(2, 3, 0)$ . Một đường thẳng $\displaystyle d$ đi qua $\displaystyle M$ cắt $\displaystyle (S)$ tại hai điểm phân biệt $\displaystyle A$ và $\displaystyle B$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $\displaystyle AB$ bằng . (làm tròn đến hàng phần chục)

`1`
Giải thích đáp án:
Mặt cầu $\displaystyle (S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0$ có tâm $\displaystyle I(1; 2; -1)$ và bán kính $\displaystyle R = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2 - (-3)} = 3$ .
Khoảng cách từ tâm $\displaystyle I$ đến điểm $\displaystyle M(2; 3; 0)$ :
$\displaystyle IM = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$
Vì $\displaystyle IM = \sqrt{3} < R = 3$ , điểm $\displaystyle M$ nằm bên trong mặt cầu.
Đường thẳng $\displaystyle d$ đi qua $\displaystyle M$ và cắt mặt cầu tại $\displaystyle A, B$ . Theo tính chất hình học, độ dài dây cung $\displaystyle AB$ được tính bằng:
$\displaystyle AB = 2\sqrt{R^2 - d^2(I, d)}$
Để độ dài $\displaystyle AB$ nhỏ nhất, khoảng cách từ tâm $\displaystyle I$ đến đường thẳng $\displaystyle d$ (kí hiệu $\displaystyle d(I, d)$ ) phải đạt giá trị lớn nhất.
Trong tam giác vuông tạo bởi $\displaystyle I, M$ và hình chiếu của $\displaystyle I$ lên $\displaystyle d$ , ta luôn có $\displaystyle d(I, d) \le IM$ . Dấu bằng xảy ra khi đường thẳng $\displaystyle d$ vuông góc với đoạn $\displaystyle IM$ .
Khi đó, $\displaystyle d(I, d)_{max} = IM = \sqrt{3}$ . Thế vào công thức tính $\displaystyle AB$ :
$\displaystyle AB_{min} = 2\sqrt{3^2 - (\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{9 - 3} = 2\sqrt{6}$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi