Đăng nhập Đăng ký

ID: 20006

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho mặt cầu $\displaystyle (S): (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 25$ và điểm $\displaystyle M(5, 5, 2)$ nằm ngoài mặt cầu. Một đường thẳng $\displaystyle d$ đi qua $\displaystyle M$ cắt $\displaystyle (S)$ tại hai điểm phân biệt $\displaystyle A, B$ ( $\displaystyle A$ nằm giữa $\displaystyle M$ và $\displaystyle B$ ). Đặt $\displaystyle MA = x, MB = y$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\displaystyle T = MA + MB$ bằng

`1`
Giải thích đáp án:
Mặt cầu $\displaystyle (S)$ có tâm $\displaystyle I(2; 1; -2)$ và bán kính $\displaystyle R = \sqrt{25} = 5$ .
Khoảng cách $\displaystyle IM = \sqrt{(5-2)^2 + (5-1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41}$ .
Vì $\displaystyle IM > R$ , điểm $\displaystyle M$ nằm ngoài mặt cầu. Phương tích từ $\displaystyle M$ đến mặt cầu $\displaystyle (S)$ là một hằng số đối với mọi cát tuyến qua $\displaystyle M$ :
$\displaystyle MA \cdot MB = x \cdot y = IM^2 - R^2 = 41 - 25 = 16$
Ta cần đánh giá $\displaystyle T = MA + MB = x + y$ .
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số thực dương $\displaystyle x, y$ :
$\displaystyle x + y \ge 2\sqrt{x \cdot y} = 2\sqrt{16} = 8$
Dấu "=" xảy ra khi $\displaystyle x = y = 4$ , nghĩa là hai điểm $\displaystyle A$ và $\displaystyle B$ trùng nhau (đường thẳng $\displaystyle d$ trở thành tiếp tuyến của mặt cầu).

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi