Đăng nhập Đăng ký

ID: 20007

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho hai mặt cầu $\displaystyle (S_1), (S_2)$ lần lượt có phương trình là:
$\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 22 = 0$
$\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 4y + 2z + 5 = 0$
Xét các mặt phẳng $\displaystyle (P)$ thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi $\displaystyle A(a; b; c)$ là điểm mà tất cả các mặt phẳng $\displaystyle (P)$ đi qua. Tính tổng $\displaystyle S = a + b + c$ bằng

`1`
Giải thích đáp án:
Mặt cầu $\displaystyle (S_1): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 22 = 0$ có tâm $\displaystyle I_1(1; 1; 1)$ và bán kính $\displaystyle R_1 = \sqrt{1+1+1 - (-22)} = 5$ .
Mặt cầu $\displaystyle (S_2): x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 4y + 2z + 5 = 0$ có tâm $\displaystyle I_2(3; -2; -1)$ và bán kính $\displaystyle R_2 = \sqrt{9+4+1 - 5} = 3$ .
Khoảng cách hai tâm: $\displaystyle I_1I_2 = \sqrt{(3-1)^2 + (-2-1)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$ .
Ta thấy $\displaystyle \vert{}R_1 - R_2\vert{} = 2 < I_1I_2 < R_1 + R_2 = 8$ . Do đó, hai mặt cầu này cắt nhau.
Vì hai mặt cầu cắt nhau, chúng không có mặt phẳng tiếp tuyến chung trong. Mọi mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu bắt buộc phải là mặt phẳng tiếp tuyến chung ngoài và tất cả đều đi qua tâm vị tự ngoài của hai mặt cầu.
Điểm $\displaystyle A(a; b; c)$ là tâm vị tự ngoài, thỏa mãn đẳng thức véc-tơ:
$\displaystyle \vec{AI_1} = \frac{R_1}{R_2}\vec{AI_2} \Rightarrow \vec{AI_1} = \frac{5}{3}\vec{AI_2}$
Phân tích tọa độ:
$\displaystyle 3(\vec{I_1} - \vec{A}) = 5(\vec{I_2} - \vec{A}) \Rightarrow 2\vec{A} = 5\vec{I_2} - 3\vec{I_1}$
Thay số vào hệ phương trình:
$\displaystyle a = \frac{5(3) - 3(1)}{2} = 6$
$\displaystyle b = \frac{5(-2) - 3(1)}{2} = -6.5$
$\displaystyle c = \frac{5(-1) - 3(1)}{2} = -4$
Tổng cần tìm:
$\displaystyle S = a + b + c = 6 + (-6.5) + (-4) = -4.5$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi