Đăng nhập Đăng ký

ID: 20008

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ trục tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho các điểm $\displaystyle A(a; 0; 0)$ , $\displaystyle B(0; b; 0)$ , $\displaystyle C(0; 0; c)$ trong đó $\displaystyle a > 0, b > 0, c > 0$ và:
$\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7$
Biết mặt phẳng $\displaystyle (ABC)$ tiếp xúc với mặt cầu $\displaystyle (S)$ có phương trình là:
$\displaystyle (S): (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = \frac{72}{7}$
Khi đó thể tích của khối tứ diện $\displaystyle OABC$ là:

Giải thích đáp án:
Mặt phẳng $\displaystyle (ABC)$ có phương trình đoạn chắn: $\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{a}x + \frac{1}{b}y + \frac{1}{c}z - 1 = 0$ .
Mặt cầu $\displaystyle (S)$ có tâm $\displaystyle I(1; 2; 3)$ và bán kính $\displaystyle R = \sqrt{\frac{72}{7}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$ .
Do $\displaystyle (ABC)$ tiếp xúc với $\displaystyle (S)$ , khoảng cách từ $\displaystyle I$ đến $\displaystyle (ABC)$ bằng $\displaystyle R$ :
$\displaystyle d(I, (ABC)) = \frac{\left\vert{}\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} - 1\right\vert{}}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$
Theo giả thiết $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7$ , thế vào phương trình trên ta được:
$\displaystyle \frac{\vert{}7 - 1\vert{}}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \Rightarrow \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{7}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số $\displaystyle (1, 2, 3)$ và $\displaystyle (\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c})$ :
$\displaystyle \left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}\right)^2 \le (1^2 + 2^2 + 3^2)\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right)$
$\displaystyle 7^2 \le 14 \cdot \frac{7}{2} \Leftrightarrow 49 \le 49$
Dấu "=" xảy ra nên $\displaystyle \frac{1/a}{1} = \frac{1/b}{2} = \frac{1/c}{3}$ . Giải hệ cùng điều kiện tổng bằng $\displaystyle 7$ , ta được: $\displaystyle \frac{1}{a} = \frac{1}{2}, \frac{1}{b} = 1, \frac{1}{c} = \frac{3}{2}$ .
Suy ra $\displaystyle a = 2, b = 1, c = \frac{2}{3}$ .
Thể tích khối tứ diện vuông $\displaystyle OABC$ :
$\displaystyle V = \frac{1}{6}abc = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} = \mathbf{\frac{2}{9}}$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi