Đăng nhập Đăng ký

ID: 20009

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho ba điểm $\displaystyle A(1; 0; 0)$ , $\displaystyle B(0; 2; 0)$ , $\displaystyle C(0; 0; 3)$ . Gọi $\displaystyle M$ là một điểm thay đổi trên mặt phẳng $\displaystyle (ABC)$ và $\displaystyle N$ là một điểm trên tia $\displaystyle OM$ sao cho $\displaystyle OM \cdot ON = 2$ . Biết rằng $\displaystyle N$ thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó bằng . (làm tròn đến hàng phần trăm)

`1`
Giải thích đáp án:
Phương trình mặt phẳng $\displaystyle (ABC)$ : $\displaystyle \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0$ .
Khoảng cách $\displaystyle h = d(O, (ABC)) = \frac{\vert{}-6\vert{}}{\sqrt{36 + 9 + 4}} = \frac{6}{7}$ .
Ta có $\displaystyle OM \cdot ON = 2$ (hằng số), $\displaystyle M \in (ABC)$ và $\displaystyle N$ nằm trên tia $\displaystyle OM$ .
Theo tính chất hình học, tập hợp điểm $\displaystyle N$ là ảnh của mặt phẳng $\displaystyle (ABC)$ qua phép nghịch đảo cực $\displaystyle O$ , phương tích $\displaystyle k = 2$ . Quỹ tích này là một mặt cầu đi qua $\displaystyle O$ .
Đường kính mặt cầu này nằm trên đường thẳng qua $\displaystyle O$ và vuông góc với $\displaystyle (ABC)$ , có độ dài $\displaystyle D = \frac{k}{h} = \frac{2}{6/7} = \frac{7}{3}$ .
Bán kính mặt cầu chứa $\displaystyle N$ là $\displaystyle R = \frac{D}{2} = \mathbf{\frac{7}{6}}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi