Đăng nhập Đăng ký

ID: 20011

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho đường thẳng $\displaystyle d: \frac{x-2}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{4}$ và mặt cầu $\displaystyle (S): (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 2$ . Hai mặt phẳng $\displaystyle (P)$ và $\displaystyle (Q)$ chứa $\displaystyle d$ và tiếp xúc với $\displaystyle (S)$ . Gọi $\displaystyle M$ và $\displaystyle N$ là tiếp điểm. Độ dài đoạn $\displaystyle MN$ bằng

Giải thích đáp án:
Đường thẳng $\displaystyle d$ qua $\displaystyle A(2; 0; 0)$ có véctơ chỉ phương $\displaystyle \vec{u} = (2; -1; 4)$ . Mặt cầu $\displaystyle (S)$ có tâm $\displaystyle I(1; 2; 1)$ , bán kính $\displaystyle R = \sqrt{2}$ .
Gọi $\displaystyle H$ là hình chiếu của $\displaystyle I$ lên $\displaystyle d$ . Véctơ $\displaystyle \vec{AI} = (-1; 2; 1)$ .
Ta tính được khoảng cách $\displaystyle IH = d(I, d) = \frac{\vert{}[\vec{AI}, \vec{u}]\vert{}}{\vert{}\vec{u}\vert{}} = \sqrt{6}$ .
$\displaystyle M, N$ là các tiếp điểm kẻ từ đường thẳng $\displaystyle d$ đến mặt cầu. Xét mặt cắt qua $\displaystyle I$ và vuông góc với $\displaystyle d$ tại $\displaystyle H$ . Ta có một đường tròn bán kính $\displaystyle R = \sqrt{2}$ và điểm $\displaystyle H$ cách tâm $\displaystyle I$ một đoạn $\displaystyle \sqrt{6}$ .
$\displaystyle HM$ là tiếp tuyến từ $\displaystyle H$ đến đường tròn cắt $\displaystyle \Rightarrow HM = \sqrt{IH^2 - R^2} = \sqrt{6 - 2} = 2$ .
Đoạn $\displaystyle MN$ là dây cung đi qua 2 tiếp điểm, có nửa độ dài là đường cao của tam giác vuông $\displaystyle IHM$ :
$\displaystyle \frac{MN}{2} = \frac{IM \cdot HM}{IH} = \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \Rightarrow MN = \mathbf{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi