Đăng nhập Đăng ký

ID: 20014

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho điểm $\displaystyle M$ thuộc mặt cầu $\displaystyle (S): (x - 3)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 9$ và ba điểm $\displaystyle A(1; 0; 0); B(2; 1; 3); C(0; 2; -3)$ . Biết rằng quỹ tích các điểm $\displaystyle M$ thỏa mãn $\displaystyle MA^2 + 2\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = 8$ là đường tròn cố định, tính bán kính $\displaystyle r$ đường tròn này.

Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle E(1; \frac{3}{2}; 0)$ là trung điểm của $\displaystyle BC$ . Ta có $\displaystyle \vec{MB}\cdot\vec{MC} = ME^2 - \frac{BC^2}{4} = ME^2 - \frac{41}{4}$ .
Giả thiết tương đương: $\displaystyle MA^2 + 2ME^2 = 8 + \frac{41}{2} = \frac{57}{2}$ .
Gọi $\displaystyle K$ là điểm thỏa mãn $\displaystyle \vec{KA} + 2\vec{KE} = \vec{0} \Rightarrow K(1; 1; 0)$ .
Biểu thức trở thành: $\displaystyle 3MK^2 + KA^2 + 2KE^2 = \frac{57}{2}$ .
Tính $\displaystyle KA^2 = 1$ , $\displaystyle KE^2 = \frac{1}{4}$ , ta được $\displaystyle 3MK^2 + \frac{3}{2} = \frac{57}{2} \Rightarrow MK^2 = 9 \Rightarrow MK = 3$ .
Quỹ tích $\displaystyle M$ theo biểu thức là mặt cầu $\displaystyle (S')$ tâm $\displaystyle K(1;1;0)$ , bán kính $\displaystyle R' = 3$ .
Mặt khác $\displaystyle M \in (S)$ có tâm $\displaystyle I(3; -1; 0)$ , bán kính $\displaystyle R = 3$ .
Đường tròn cần tìm là giao của $\displaystyle (S)$ và $\displaystyle (S')$ . Khoảng cách 2 tâm: $\displaystyle IK = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = 2\sqrt{2}$ .
Bán kính đường tròn giao tuyến:
$\displaystyle r = \sqrt{R^2 - \left(\frac{IK}{2}\right)^2} = \sqrt{9 - (\sqrt{2})^2} = \mathbf{\sqrt{7}}$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi