Đăng nhập Đăng ký

ID: 20599

Nhận biết (M1)
Cho tứ diện $\displaystyle ABCD$ có $\displaystyle A(0;1;0)$ , $\displaystyle B(1;0;1)$ , $\displaystyle C(5;-1;1)$ , $\displaystyle D(3;-3;2)$ . Điểm $\displaystyle M(a;b;c)$ thỏa mãn $\displaystyle |\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $\displaystyle a+b+c$ bằng:

Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle I$ là trọng tâm của tứ diện $\displaystyle ABCD$ . Toạ độ của $\displaystyle I$ là:
$\displaystyle x_I = \frac{0 + 1 + 5 + 3}{4} = \frac{9}{4}$
$\displaystyle y_I = \frac{1 + 0 - 1 - 3}{4} = -\frac{3}{4}$
$\displaystyle z_I = \frac{0 + 1 + 1 + 2}{4} = 1$
Ta có $\displaystyle \vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD} = 4\vec{MI}$ .
Do đó $\displaystyle |\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}| = 4MI$ .
Đẳng thức đạt giá trị nhỏ nhất khi $\displaystyle M \equiv I$ .
Suy ra $\displaystyle M\left(\frac{9}{4}; -\frac{3}{4}; 1\right)$ , tức $\displaystyle a = \frac{9}{4}$ , $\displaystyle b = -\frac{3}{4}$ , $\displaystyle c = 1$ .
Vậy $\displaystyle a+b+c = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} + 1 = \frac{5}{2}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi