Đăng nhập Đăng ký

ID: 20600

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho ba điểm $\displaystyle A(0;-2;-1)$ , $\displaystyle B(-2;-4;3)$ , $\displaystyle C(1;3;-1)$ và mặt phẳng $\displaystyle (P): x+y-2z-3=0$ . Điểm $\displaystyle M \in (P)$ thỏa mãn $\displaystyle |\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Hoành độ của điểm $\displaystyle M$ bằng

Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle I(x_I; y_I; z_I)$ là điểm thỏa mãn $\displaystyle \vec{IA} + \vec{IB} + 2\vec{IC} = \vec{0}$ .
Toạ độ điểm $\displaystyle I$ được tính bằng:
$\displaystyle x_I = \frac{x_A + x_B + 2x_C}{1 + 1 + 2} = \frac{0 - 2 + 2(1)}{4} = 0$
$\displaystyle y_I = \frac{y_A + y_B + 2y_C}{4} = \frac{-2 - 4 + 2(3)}{4} = 0$
$\displaystyle z_I = \frac{z_A + z_B + 2z_C}{4} = \frac{-1 + 3 + 2(-1)}{4} = 0$
Nên $\displaystyle I(0;0;0)$ .
Biểu thức $\displaystyle T = |\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}| = |4\vec{MI}| = 4MI$ .
$\displaystyle T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\displaystyle M$ là hình chiếu vuông góc của $\displaystyle I(0;0;0)$ lên mặt phẳng $\displaystyle (P)$ .
Đường thẳng $\displaystyle \Delta$ đi qua $\displaystyle I(0;0;0)$ và vuông góc với $\displaystyle (P)$ có phương trình:
$\displaystyle x = t$ , $\displaystyle y = t$ , $\displaystyle z = -2t$ .
Thay vào phương trình mặt phẳng $\displaystyle (P)$ :
$\displaystyle t + t - 2(-2t) - 3 = 0 \Leftrightarrow 6t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$ .
Suy ra điểm $\displaystyle M\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; -1\right)$ . Hoành độ của điểm $\displaystyle M$ là $\displaystyle x_M = \frac{1}{2}$ .
(Sửa lại đáp án chuẩn: D. $\displaystyle \frac{1}{2}$ ).

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi